| Summary: | El tema que trata esta memoria de titulo es minimizar el primer valor propio de un conductor
compuesto por dos materiales homogéneos, que son distribuidos en proporciones fijas
dentro de un dominio.
Los trabajos pioneros de F. Murat y L. Tartar [26] muestran que esta clase de problemas
del cálculo de variaciones podrían tener existencia de minimizadores sólo en una clase más
grande, llamada clase de materiales homogenizados o con micro-estructura, excluyendo a
priori distribuciones clásicas de material como soluciones optimales. Para dominios en una
dimensión, M. G. Krein [22] probó la existencia de una solución clásica. En dimensiones
más altas, cuando el problema se restringe a una bola, A. Alvino, P. L. Trombetti y P. L.
Lions [4] probaron que se pueden obtener soluciones clásicas radialmente simétricas. Sin
embargo, estos resultados han sido vistos como excepcionales, atribuidos a la completa
simetría del dominio. Cox y Lipton [11], sólo estudiaron condiciones para un diseño óptimo
del problema asumiendo soluciones homogenizadas. Aún es desconocido si en dominios
con simetría parcial es posible o no obtener una solución clásica que respete la simetría
del dominio.
Esperamos revivir el interés a esta pregunta dando una nueva prueba del resultado en
una bola. Creemos además que, en este caso, distribuir el material de mayor conductividad
en el centro es una solución óptima.
En los primeros capítulos se introduce el problema y se hace un resumen crítico del
estado del arte en lo que se refiere a la existencia de un minimizador, incluyendo algunas
referencias clásicas que plantean la no existencia de solución para problemas similares.
Luego se describen las principales herramientas utilizadas en el desarrollo de esta tesis.
Se da un énfasis particular a los re-arreglos de funciones. En el capítulo cuarto se describe
el problema general y en el quinto un análisis exhaustivo del problema en una dimensión.
En el capítulo sexto se desarrolla el caso de una bola N dimensional, otorgando una nueva
prueba de la existencia de una solución clásica radialmente simétrica. En el capítulo séptimo
se desarrolla el cálculo de la derivada con respecto al dominio del primer valor propio, y
en el octavo se muestran experiencias numéricas asociadas al problema, en el caso de un
disco en R2. En el capítulo noveno se genera un análisis del signo de la derivada para el
caso de una bola N dimensional, otorgando resultados, con los cuales se espera concluir,
en un futuro próximo, que la solución del problema para este tipo de dominios, se encuentra
disponiendo el material de más alta conductividad en el centro.
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