Elliptic problems with small parameter

• Main Author: Dyachenko, Evgeniya
• Format: Doctoral Thesis
• Language: English
• Published: Universität Potsdam 2014
• Subjects: elliptische Gleichungen; kleine Parameter; elliptic problems; small parameter; boundary layer; Mathematics
• Online Access: http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:517-opus-72056; http://opus.kobv.de/ubp/volltexte/2014/7205/

In this thesis we consider diverse aspects of existence and correctness of asymptotic solutions to elliptic differential and pseudodifferential equations. We begin our studies with the case of a general elliptic boundary value problem in partial derivatives. A small parameter enters the coefficients of the main equation as well as into the boundary conditions. Such equations have already been investigated satisfactory, but there still exist certain theoretical deficiencies. Our aim is to present the general theory of elliptic problems with a small parameter. For this purpose we examine in detail the case of a bounded domain with a smooth boundary. First of all, we construct formal solutions as power series in the small parameter. Then we examine their asymptotic properties. It suffices to carry out sharp two-sided emph{a priori} estimates for the operators of boundary value problems which are uniform in the small parameter. Such estimates failed to hold in functional spaces used in classical elliptic theory. To circumvent this limitation we exploit norms depending on the small parameter for the functions defined on a bounded domain. Similar norms are widely used in literature, but their properties have not been investigated extensively. Our theoretical investigation shows that the usual elliptic technique can be correctly carried out in these norms. The obtained results also allow one to extend the norms to compact manifolds with boundaries. We complete our investigation by formulating algebraic conditions on the operators and showing their equivalence to the existence of a priori estimates. In the second step, we extend the concept of ellipticity with a small parameter to more general classes of operators. Firstly, we want to compare the difference in asymptotic patterns between the obtained series and expansions for similar differential problems. Therefore we investigate the heat equation in a bounded domain with a small parameter near the time derivative. In this case the characteristics touch the boundary at a finite number of points. It is known that the solutions are not regular in a neighbourhood of such points in advance. We suppose moreover that the boundary at such points can be non-smooth but have cuspidal singularities. We find a formal asymptotic expansion and show that when a set of parameters comes through a threshold value, the expansions fail to be asymptotic. The last part of the work is devoted to general concept of ellipticity with a small parameter. Several theoretical extensions to pseudodifferential operators have already been suggested in previous studies. As a new contribution we involve the analysis on manifolds with edge singularities which allows us to consider wider classes of perturbed elliptic operators. We examine that introduced classes possess a priori estimates of elliptic type. As a further application we demonstrate how developed tools can be used to reduce singularly perturbed problems to regular ones. === In dieser Dissertation betrachten wir verschiedene Aspekte der Existenz und Korrektheit asymptotischer Lösungen für elliptische Differentialgleichungen und Pseudodifferentialgleichungen. Am Anfang betrachtet die Arbeit den Fall eines allgemeinen elliptischen Grenzwertproblems in partiellen Ableitungen. Hierbei hängen die Koeffizienten von einem kleinen Parameter ab. Solche Gleichungen wurden schon reichlich untersucht, aber es gibt immer noch theoretische Lücken. Unser Ziel ist eine allgemeine Theorie elliptischer Operatorklassen mit kleinen Parametern. Zu diesem Zweck untersuchen wir im Detail den Fall eines beschränkten Gebietes mit glattem Rand. Zuerst konstruieren wir formale Lösungen als Potenzreihe einer kleinen Variablen. Weiter untersuchen wir ihre asymptotischen Eigenschaften. Dazu reicht es aus, beidseitige A-Priori Abschätzungen für diejenigen Randwertproblemoperatoren zu bestimmen, die gleichmäßig stetig von den kleinen Parametern abhängen. Solche Abschätzungen gelten nicht in Funktionenräumen, die in der klassischen elliptischen Theorie benutzt werden. Um diese Beschränkungen zu überwinden, nutzen wir Normen abhängig vom kleinen Parameter. Änliche Normen finden sich oft in der Literatur, aber ihre Eigenschaften wurden unzureichend untersucht. Unsere theoretische Forschung zeigt, dass die gewöhnliche elliptische Methode korrekt durchgeführt werden kann. Die erhaltenen Abschätzungen erlauben das Fortsetzen der Normen auf kompakte Mannigfältigkeiten mit Rand. Unsere Forschung wird mit algebraischen Bedingungen für die Operatoren abgeschlossen. Wir zeigen, dass diese Bedingungen äquivalent zu der Existenz der A-Priori-Abschätzungen sind. Im zweiten Schritt erweitern wir das Konzept der Elliptizität mit kleinen Parametern zu allgemeineren Operatorklassen. Zuerst wollen wir den Unterschied in asymptotischen Mustern zwischen der erhaltenen Reihe und Lösungen ähnlicher Probleme untersuchen. Deshalb untersuchen wir die Wärmeleitungsgleichung in einem beschränkten Gebiet mit einem kleinen Parameter in der Zeitableitung. In diesem Fall tangiert der Rand die Charakteristik endlich oft. Es ist bekannt, dass die Lösungen unregulär im Allgemeinen in Umgebungen solcher Stellen sind. Wir nehmen an, dass der Rand an solchen Stellen nicht glätt sein kann und kaspydalische Singularitäten hat. Wir haben eine formale asymptotische Zerlegung gefunden und einen Schwellenwert gezeigt, sodass die asymptotische Eigenschaft der Reihe nicht mehr gilt, wenn der Randparameter diesen Schwellenwert übersteigt. Der letze Teil der Arbeit führt ein allgemeines Konzept der Elliptizit"at mit einem kleinen Parameter ein. Mehrere theoretische Erweiterungen auf Pseudodifferentialoperatoren wurden schon in früheren Studien vorgeschlagen. Als neuen Beitrag wenden wir die Analysis auf Manigfältigkeiten mit Kantensingularitäten an. Dies lässt es zu, allgemeinere gestörte Operatorklassen zu betrachten. Wir beobachten, dass die eingef"uhrten Klassen A-Priori-Abschätzungen elliptischer Gestalt haben. Als weitere Anwendung demonstrieren wir, wie die entwickelten Mittel zum Reduzieren singular gestörter Probleme zu regulären Fällen benutzt werden können.