Point processes in statistical mechanics : a cluster expansion approach

• Main Author: Nehring, Benjamin
• Format: Doctoral Thesis
• Language: English
• Published: Universität Potsdam 2012
• Subjects: Gibbssche Punktprozesse; determinantische Punktprozesse; Cluster Entwicklung; Levy Maß; unendlich teilbare Punktprozesse; Gibbs point processes; Determinantal point processes; Cluster expansion; Levy measure; infinitely divisible point processes; Mathematics
• Online Access: http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:517-opus-62682; http://opus.kobv.de/ubp/volltexte/2012/6268/

A point process is a mechanism, which realizes randomly locally finite point measures. One of the main results of this thesis is an existence theorem for a new class of point processes with a so called signed Levy pseudo measure L, which is an extension of the class of infinitely divisible point processes. The construction approach is a combination of the classical point process theory, as developed by Kerstan, Matthes and Mecke, with the method of cluster expansions from statistical mechanics. Here the starting point is a family of signed Radon measures, which defines on the one hand the Levy pseudo measure L, and on the other hand locally the point process. The relation between L and the process is the following: this point process solves the integral cluster equation determined by L. We show that the results from the classical theory of infinitely divisible point processes carry over in a natural way to the larger class of point processes with a signed Levy pseudo measure. In this way we obtain e.g. a criterium for simplicity and a characterization through the cluster equation, interpreted as an integration by parts formula, for such point processes. Our main result in chapter 3 is a representation theorem for the factorial moment measures of the above point processes. With its help we will identify the permanental respective determinantal point processes, which belong to the classes of Boson respective Fermion processes. As a by-product we obtain a representation of the (reduced) Palm kernels of infinitely divisible point processes. In chapter 4 we see how the existence theorem enables us to construct (infinitely extended) Gibbs, quantum-Bose and polymer processes. The so called polymer processes seem to be constructed here for the first time. In the last part of this thesis we prove that the family of cluster equations has certain stability properties with respect to the transformation of its solutions. At first this will be used to show how large the class of solutions of such equations is, and secondly to establish the cluster theorem of Kerstan, Matthes and Mecke in our setting. With its help we are able to enlarge the class of Polya processes to the so called branching Polya processes. The last sections of this work are about thinning and splitting of point processes. One main result is that the classes of Boson and Fermion processes remain closed under thinning. We use the results on thinning to identify a subclass of point processes with a signed Levy pseudo measure as doubly stochastic Poisson processes. We also pose the following question: Assume you observe a realization of a thinned point process. What is the distribution of deleted points? Surprisingly, the Papangelou kernel of the thinning, besides a constant factor, is given by the intensity measure of this conditional probability, called splitting kernel. === Ein Punktprozess ist ein Mechanismus, der zufällig ein lokalendliches Punktmaß realisiert. Ein Hauptresultat dieser Arbeit ist ein Existenzsatz für eine sehr große Klasse von Punktprozessen mit einem signierten Levy Pseudomaß L. Diese Klasse ist eine Erweiterung der Klasse der unendlich teilbaren Punktprozesse. Die verwendete Methode der Konstruktion ist eine Verbindung der klassischen Punktprozesstheorie, wie sie von Kerstan, Matthes und Mecke ursprünglich entwickelt wurde, mit der sogenannten Methode der Cluster-Entwicklungen aus der statistischen Mechanik. Ausgangspunkt ist eine Familie von signierten Radonmaßen. Diese definiert einerseits das Levysche Pseudomaß L; andererseits wird mit deren Hilfe der Prozess lokal definiert. Der Zusammenhang zwischen L und dem Prozess ist so, dass der Prozess die durch L bestimmte Integralgleichung (genannt Clustergleichung) löst. Wir zeigen, dass sich die Resultate aus der klassischen Theorie der unendlich teilbaren Punktprozesse auf natürliche Weise auf die neue Klasse der Punktprozesse mit signiertem Levy Pseudomaß erweitern lassen. So erhalten wir z.B. ein Kriterium für die Einfachheit und eine Charackterisierung durch die Clustergleichung für jene Punktprozesse. Unser erstes Hauptresultat in Kapitel 3 zur Analyse der konstruierten Prozesse ist ein Darstellungssatz der faktoriellen Momentenmaße. Mit dessen Hilfe werden wir die permanentischen respektive determinantischen Punktprozesse, die in die Klasse der Bosonen respektive Fermionen Prozesse fallen, identifizieren. Als ein Nebenresultat erhalten wir eine Darstellung der (reduzierten) Palm Kerne von unendlich teilbaren Punktprozessen. Im Kapitel 4 konstruieren wir mit Hilfe unseres Existenzsatzes unendlich ausgedehnte Gibbsche Prozesse sowie Quanten-Bose und Polymer Prozesse. Unseres Wissens sind letztere bisher nicht konstruiert worden. Im letzten Teil der Arbeit zeigen wir, dass die Familie der Clustergleichungen gewisse Stabilitätseigenschaften gegenüber gewissen Transformationen ihrer Lösungen aufweist. Dies wird erstens verwendet, um zu verdeutlichen, wie groß die Klasse der Punktprozesslösungen einer solchen Gleichung ist. Zweitens wird damit der Ausschauerungssatz von Kerstan, Matthes und Mecke in unserer allgemeineren Situation gezeigt. Mit seiner Hilfe können wir die Klasse der Polyaschen Prozesse auf die der von uns genannten Polya Verzweigungsprozesse vergrößern. Der letzte Abschnitt der Arbeit beschäftigt sich mit dem Ausdünnen und dem Splitten von Punktprozessen. Wir beweisen, dass die Klassen der Bosonen und Fermionen Prozesse abgeschlossen unter Ausdünnung ist. Die Ergebnisse über das Ausdünnen verwenden wir, um eine Teilklasse der Punktprozesse mit signiertem Levy Pseudomaß als doppelt stochastische Poissonsche Prozesse zu identifizieren. Wir stellen uns auch die Frage: Angenommen wir beobachten eine Realisierung einer Ausdünnung eines Punktprozesses. Wie sieht die Verteilung der gelöschten Punktkonfiguration aus? Diese bedingte Verteilung nennen wir splitting Kern, und ein überraschendes Resultat ist, dass der Papangelou-Kern der Ausdünnung, abgesehen von einem konstanten Faktor, gegeben ist durch das Intensitätsmaß des splitting Kernes.