| Summary: | En simulant l’écoulement du sang dans un réseau de capillaires (en l’absence de contrôle biologique), il est possible d’observer la présence d’oscillations de certains paramètres comme le débit volumique, la pression et l’hématocrite (volume des globules rouges par rapport au volume du sang total). Ce comportement semble être en concordance avec certaines expériences in vivo. Malgré cet accord, il faut se demander si les fluctuations observées lors des simulations de l’écoulement sont physiques, numériques ou un artefact de modèles irréalistes puisqu’il existe toujours des différences entre des modélisations et des expériences in vivo. Pour répondre à cette question de façon satisfaisante, nous étudierons et analyserons l’écoulement du sang ainsi que la nature des oscillations observées dans quelques réseaux de capillaires utilisant un modèle convectif et un modèle moyenné pour décrire les équations de conservation de masse des globules rouges. Ces modèles tiennent compte de deux effets rhéologiques importants : l’effet Fåhraeus-Lindqvist décrivant la viscosité apparente dans un vaisseau et l’effet de séparation de phase schématisant la distribution des globules rouges aux points de bifurcation. Pour décrire ce dernier effet, deux lois de séparation de phase (les lois de Pries et al. et de Fenton et al.) seront étudiées et comparées. Dans ce mémoire, nous présenterons une description du problème physiologique (rhéologie du sang). Nous montrerons les modèles mathématiques employés (moyenné et convectif) ainsi que les lois de séparation de phase (Pries et al. et Fenton et al.) accompagnés d’une analyse des schémas numériques implémentés. Pour le modèle moyenné, nous employons le schéma numérique explicite traditionnel d’Euler ainsi qu’un nouveau schéma implicite qui permet de résoudre ce problème d’une manière efficace. Ceci est fait en utilisant une méthode de Newton-
Krylov avec gradient conjugué préconditionné et la méthode de GMRES pour les itérations intérieures ainsi qu’une méthode quasi-Newton (la méthode de Broyden). Cette méthode inclura le schéma implicite d’Euler et la méthode des trapèzes. Pour le schéma convectif, la méthode explicite de Kiani et al. sera implémentée ainsi qu’une nouvelle approche implicite. La stabilité des deux modèles sera également explorée. À l’aide de trois différentes topologies, nous comparerons les résultats de ces deux modèles mathématiques ainsi que les lois de séparation de phase afin de déterminer dans quelle mesure les oscillations observées peuvent être attribuables au choix des modèles mathématiques ou au choix des méthodes numériques. === While simulating blood flow in a microvascular network (in the absence of
biological control), it is possible to observe the presence of oscillations in certain
parameters such as blood flow, nodal pressure and hematocrit (red blood cell
concentration in blood). This behaviour seems consistent with certain in vivo experiments.
Despite this agreement, one has to wonder if the fluctuations observed
in simulations are physical in nature, numerical or an artefact of unrealistic models
since there are always differences between modelling and in vivo experiments.
To settle this question satisfactorily, we will study and analyze blood flow
and the nature of the fluctuations in different microvascular networks using a
convective model and a well-mixed model to depict the governing equations for
conservation of red blood cell mass. These models take into account two important
rheological effects : the Fåhraeus-Lindqvist effect describing the apparent viscosity
of blood flow in a vessel and the plasma skimming effect which describes the
separation of red blood cells at diverging nodes. To describe the latter effect, we
will implement two plasma skimming models (Pries et al. and Fenton et al.).
In this thesis, we will present a description of the physiological problem (blood
rheology). We will introduce the mathematical models used (well-mixed and
convective) as well as the plasma skimming models (Pries et al. and Fenton et
al.) accompanied by a detailed analysis of the numerical methods implemented.
For the well-mixed model, we use the traditional explicit Euler method as well
as a new implicit scheme that allows us to solve the problem in an efficient manner.
This is done using a Newton-Krylov method with a preconditioned conjugate
gradient and GMRES method for the inner iterations as well as a quasi-
Newton method (Broyden’s method). The implicit method will include the
vi
backward Euler and trapezoidal methods. For the convective model, the explicit
method of Kiani et al. will be implemented as well as a new numerical implicit
approach. The stability of these numerical schemes will be explored. Using three
different topologies, we will compare the results of the two mathematical models
as well as the two plasma skimming models and the various numerical methods in
order to ascertain to what extent the oscillations that have been observed using
the traditional schemes may be attributable to the choice of the mathematical
models or the choice of the numerical methods.
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