B-methods: Special time-integrators for differential equations with blow-up solutions

• Main Author: Beck, Mélanie
• Other Authors: Martin Jakob Gander (Internal/Supervisor)
• Format: Others
• Language: en
• Published: McGill University 2010
• Subjects: Pure Sciences - Mathematics
• Online Access: http://digitool.Library.McGill.CA:80/R/?func=dbin-jump-full&object_id=86504

Many nonlinear differential equations have solutions that cease to exist in finite time because their norm becomes infinite. We say that the solution blows up in finite time. In general, this phenomenon is especially important in the physical interpretation of the results, but unfortunately most of these differential equations can not be explicitly solved. Moreover numerically approximating blow-up phenomena is a delicate problem and most standard methods only yield poor results. === In this thesis we suggest ways to construct fixed-step numerical methods, specialized in the approximation of a blow-up solution, the so-called B-methods (in case of partial differential equations, we obtain semi-discretizations in time). Two approaches are presented in detail: one consists of a splitting method while the other comes from a variation of the constant. Both approaches are based on the same idea: to exploit the fact that the solution of a simplified equation (made up of the nonlinear part that is responsible for the blow-up) can be explicitly written. === We start by properly defining the problem and presenting an extensive literature review concerning both theoretical and numerical results. Then, after explaining the two methods of construction on an example, we apply them to different models and so we obtain numerous B-methods. All these methods are implemented and extensive numerical experiments illustrate the superiority of the performance of B-methods over standard methods. Finally a chapter is devoted to the theoretical study of some B-methods. Theorems which are proven reinforce the promising results of the numerical tests. === De nombreuses équations différentielles non-linéaires ont des solutions qui cessent d'exister en temps fini car leur norme devient infinie. On dit alors que la solution explose en temps fini. Ce phénomène revêt généralement une grande importance dans l'interprétation physique des résultats, malheureusement la plupart de ces équations différentielles ne peuvent pas être résolues explicitement. De plus l'approximation numérique du phénomène d'explosion est délicat et la plupart des méthodes standards ne donnent que des résultats médiocres. === Dans cette thèse nous proposons des façons de construire des méthodes numériques à pas de temps fixe, spécialisées dans l'approximation d'une solution qui explose, les B-méthodes (dans le cas d'équations aux dérivés partielles, nous obtenons des semi-discrétisations en temps). Deux approches sont présentées en détail : l'une consiste en une "splitting method" tandis que l'autre provient d'une variation de la constante. Toutes deux se basent sur la même idée : exploiter le fait que la solution d'une équation simplifiée (formée de la partie non-linéaire responsable de l'explosion) peut être écrite explicitement. === Nous commençons par bien définir le problème et présentons une revue étendue de la littérature consacrée au sujet, tant du point de vue théorique que du point de vue numérique. Puis, après avoir expliqué ces deux méthodes de construction sur un exemple, nous les appliquons à différents modèles et obtenons ainsi de nombreuses B-méthodes. Toutes ces méthodes sont ensuite programmées et des tests numériques étendus viennent illustrer la supériorité des performances des B-méthodes sur celles des méthodes standards. Un chapitre est également consacré à l'étude théorique de quelques B-méthodes. Les théorèmes qui y sont prouvés viennent supporter les résultats prometteurs des tests numériques.