Generalized Voronoi Regions

• Main Author: Larsson, Lisa
• Other Authors: Rustum Choksi (Supervisor)
• Format: Others
• Language: en
• Published: McGill University 2014
• Subjects: Pure Sciences - Mathematics
• Online Access: http://digitool.Library.McGill.CA:80/R/?func=dbin-jump-full&object_id=123241

In this thesis, three geometric problems are studied that involve Voronoi regions in $\mathbb{R}^d$ which are generated by codimension $k$ sets, $k\in\{1,...,d\}$. Hereafter, these sets will be called \textit{generators}. The Voronoi regions they generate will be referred to as \textit{generalized Voronoi regions}. The first problem considered is that of computing the measures of (equivalently, integrals over) generalized Voronoi regions. To this end, a Markov operator is constructed that yields a sequence of measures, and converges to a measure concentrated in a fixed neighborhood of the generators. It is shown that the neighborhoods of the generators are the invariant sets of the operator, and moreover that they are attractive. Furthermore, it is proven that the mass concentrated on each invariant set yields a first order approximation of the measure of each Voronoi region. Next, the operator is discretized on a regular computational grid, and a scheme to iterate the operator numerically is derived. The scheme is shown to be convergent, and offers a first-order approximation of the true measure. A variety of numerical examples in $\mathbb{R}^2$ and $\mathbb{R}^3$ are shown for curves and curved surfaces, though the algorithm applies in any dimension. The second problem investigated is a geometric optimization problem known as the Centroidal Voronoi Tessellation (CVT). This problem is concerned with finding, for a fixed number of codimension $d$ generators (i.e., points), the configuration that minimizes the squared distance from any point in the domain to the closest generator. As this problem is formulated in terms of codimension $d$ generators , in the current work, this formulation is now generalized to the case of codimension $k$ generators, $k \in \{1,...,d-1\}$. Energy derivatives are calculated for the codimension $k$ case, and an algebraic approximation of the energy is proposed whose minimizers have a geometric Lloyd-type characterization. The implementation of a generalized quasi-Newton method is discussed. Results for the optimization are shown in a variety of cases in $\mathbb{R}^2$, which serve to highlight the strengths and limitations of the quasi-Newton method. Finally, the energy landscape associated with the non-convex CVT optimization problem is considered. A study of the CVT energy landscape for circular generators in $\mathbb{R}^2$ is presented for varying numbers of generators with possibly heterogeneous radii. This demonstrates the difference in energies between the local minimizers of the CVT energy. The arrangement of the lowest energy configurations are presented. === Cette thèse porte sur trois problèmes géométriques impliquants les régions de Voronoï dans $\mathbb{R}^d$ associées à des ensembles de codimension $k$, $k\in\{1,...,d\}$. Nous appellerons désormais ces ensembles les \textit{germes}, tandis que les régions de Voronoï qui leur sont associées seront designées par le terme \textit{régions généralisées de Voronoï}. Le premier problème dont nous traitons est le calcul des mesures (ce qui revient à évaluer des intégrales sur) des régions généralisées de Voronoï. À cette fin, un opérateur de Markov générant une séquence de mesures est construit, et converge vers une mesure concentrée en un voisinage fixe des germes.Il est demontré que les voisinages des germes sont des ensembles invariants de l'opérateur, et qu'ils sont attractifs. De plus, il est prouvé que la masse concentrée sur chaque ensemble invariant constitue une approximation au premier ordre de la mesure de chaque région de Voronoï. Par la suite, l'opérateur est discrétisé sur une grille, et un schéma qui itère numériquement l'opérateur est obtenu. Il est démontré que le schéma qui résulte est convergent, et donne une approximation au premier ordre de la mesure exacte. Un certain nombre d'exemples numériques ayant pour germes des courbes et des surfaces courbées sont présentés dans $\mathbb{R}^2$ et dans $\mathbb{R}^3$, bien que l'algorithme s'applique à un nombre arbitraire de dimensions. Le deuxième problème dont il est question est un problème d'optimisation géométrique connu sous le nom de Tesselation Centroïde de Voronoï (TCV). Le but de ce problème est de trouver, étant donné un nombre fixe de germes de codimension $d$ (c-à-d des points), la configuration qui minimise le carré de la distance entre n'importe quel point du domaine et le germe le plus proche. La formulation TCV que nous proposons est étendue au cas de germes de codimension $k$, $k \in \{1,...,d-1\}$. Les dérivées énergétiques sont calculées pour le cas où les germes ont codimension $k$, et une approximation algébrique de l'énergie dont les minimaux ont une caractérisation géométrique dite du type de Lloyd est proposée. L'implémentation d'une méthode généralisée quasi-Newton est discutée. Les résultats de l'optimisation sont présentés pour divers cas dans $\mathbb{R}^2$, afin d'illustrer les avantages et inconvénients de méthod quasi-Newton. Finalement, la configuration énergétique associée au problème d'optimisation TCV non-convexe est considérée. Une étude de la configuration énergétique TCV pour des germes circulaires dans $\mathbb{R}^2$ est présentée pour un nombre irréguliers de germes, avec des rayons possiblement hétérogènes. Ceci illustre les différences d'énergie entre les mimimaux locaux de l'énergie TCV. Les arrangements correspondants aux configurations énergétiques les plus basses sont présentées.