| Summary: | This thesis provides a thorough literature review of the newly founded theory of compressed sensing (CS), developed by Cand`es and his collaborators. The majority of the documented developments remain in the treatment of perfectly sparse signals in the finite dimensional setting. This was extended to the treatment of nearly sparse (compressible) signals in infinite-dimensions by Adcock and Hansen. A novel approach in analyzing the performance of CS, in the finite-dimensional setting, was developed by Cohen, Dahmen and DeVore where they study the effectiveness of CS. This is carried by comparing it to the well established theory of best k-term approximation, i.e in terms of how well CS recovers non-sparse vectors which can be well approximated by sparse vectors. The contribution of this thesis extends DeVore and his collaborators instance optimality results for CS to infinite dimensions by following a similar construction carried by Adcock and Hansen. This will be made by appealing to the truncation techniques devised by Adcock and Hansen in their development of the generalized sampling theory, and by appealing to an intermediate result established by Candès and Plan regarding the restricted isometry property (RIP). === Cette thèse présente une minutieuse revue de la littérature portant sur l’acquisition comprimée (CS), une théorie récemment développée par Candès et ses collaborateurs. La majorité des travaux qui en découlent se focalise sur les signaux parfaitement parcimonieux en un nombre fini de dimensions. Ces résultats ont été étendus au cas des signaux (compressibles) quasi-parcimonieux dans les espaces de dimension infinie par Adcock et Hansen. Une nouvelle approche permettant d'analyser la performance de la CS en un nombre de dimension finie a été proposée par Cohen, Dahmen et DeVore. Celle-ci étudie l'efficacité de la CS en comparant cette méthode à la très reconnue théorie des approximations par les k meilleurs termes; c'est-à-dire en étudiant la capacité de la CS à recouvrer des vecteurs non-parcimonieux pouvant eux-mêmes être approximés par des vecteurs parcimonieux. La contribution de cette thèse étend les résultats de DeVore et de ses collaborateurs sur l'optimalité exemplaire de la CS au cas des espaces de dimension infinie, en suivant une construction similaire à celle employée par Adcock et Hansen. À cette fin, les techniques de troncation décrites par Adcock et Hansen dans leur développement de la théorie de l'échantillonage général seront utilisées, tout comme un résultat intermédiaire établi par Cand`es et Plan portant sur la Propriété Isométrique Restreinte (RIP).
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