On a non-local transport equation with competing attraction and Newtonian repulsion

• Main Author: Palasciano, Mario
• Other Authors: Rustum Choksi (Internal/Supervisor)
• Format: Others
• Language: en
• Published: McGill University 2013
• Subjects: Pure Sciences - Mathematics
• Online Access: http://digitool.Library.McGill.CA:80/R/?func=dbin-jump-full&object_id=119401

We study the aggregation equation $\rho_t + \nabla \cdot (\rho (-\nabla K \ast \rho)) = 0$ in $\Real^n$, a first-order nonlinear and non-local transport equation used to model swarming behaviour. The radial interaction potential is chosen $K$ to model both short-range repulsion and long-range attraction. We show global-well-posedness of solutions using the particle-trajectory method, a technique first used for the proving global existence and uniqueness of the Euler equation. Specifically, the interaction kernel is selected in order to calculate an analytic solution of density along particle trajectories and to make use of the well-developed theory of singular integral operators. We also show that solutions with a compactly supported radially symmetric initial density $\rho_0$ remain radially symmetric for all time and asymptotically approach a steady state consisting of a ball in $\Real^n$ uniform density. === Nous étudions l'équation d'agrégation $ \rho_t + \nabla \cdot (\rho (- \nabla K \ast \rho)) = 0 $ dans $ \Real^n $, une équation de transport non linéaire et non locale du premier ordre utilisée pour modéliser le comportement d'essaims. Le potentiel d'interaction radial $K$ est choisi pour modéliser à la fois la répulsion à courte portée et l'attraction à longue portée. Nous montrons que les équations sont globalement bien posées en utilisant la méthode des trajectoires de particules, une technique utilisée entre autre pour démontrer l'existence et l'unicité de l'équation d'Euler. Plus précisément, le noyau d'interaction est choisi afin de calculer une solution analytique de la densité le long de trajectoires de particules et pour faire usage de la théorie bien développée des opérateurs intégraux singuliers.Nous démontrons également que les solutions ayant une densité initiale radialement symétrique à support compact $\rho_0 $ demeurent radialement symétriques pour tout temps et approchent asymptotiquement un état stable constitué d'une boule dans $ \Real^n $ avec densité uniforme.