Finite element methods for finding the complex Floquet propagation constant of three dimensional periodic structures

• Main Author: Bostani, Ali
• Other Authors: Jonathan P Webb (Supervisor)
• Format: Others
• Language: en
• Published: McGill University 2013
• Subjects: Engineering - Electronics and Electrical
• Online Access: http://digitool.Library.McGill.CA:80/R/?func=dbin-jump-full&object_id=114475

Periodic structures have been widely used in the radio frequency (RF) and microwave industries in the past few decades. Understanding the modal behavior of these structures requires an eigenvalue study called dispersion analysis, to which the finite element method (FEM) has been successfully applied. The classical FEM approach is to specify a purely imaginary propagation constant and find the corresponding frequency. This method provides information regarding the behavior in the passband, but not in the stopband, and moreover cannot accommodate lossy or frequency-dependent materials. Recently a new FEM was reported that allows the user to specify the frequency and find the complex propagation constant. However, the method is computationally inefficient and unable to handle realistic 3D problems. The focus of this thesis is on improving the efficiency, in three steps. In the first step, the quadratic matrix eigenvalue problem is turned into a linear eigenproblem of the same size without loss of generality and a sparse method is used to solve it. This reduces the computational cost from O(n^3 ) to O(n^(1.6) ), where n is the matrix dimension. With this dramatic improvement, the method is able to analyze realistic 3D geometries for the first time. In the second step, a model order reduction (MOR) technique is applied. With MOR, only two full-size eigenproblems need to be solved, at a single "expansion point" frequency, in order to generate the dispersion diagram over a range of frequencies. Since the full-size analysis does not need to be repeated at a large number of frequency points, the overall computational cost is lowered considerably. Despite the efficiency of this approach, it suffers from a limited bandwidth because the error increases as the frequency moves further from the expansion point. In the third step, an adaptive algorithm is developed which uses multiple expansion points and a smart error estimator which indicates where a new expansion point needs to be employed so that the error does not exceed a given threshold. Also, an adaptive mode tracking system is developed which adjusts the frequency step size to guarantee that the same propagation mode is being tracked over the whole frequency range.At each step, the new methods are applied to four periodic structures: a triply periodic array of metallic cubes and three planar structures used for noise suppression in high-speed digital circuits. In addition, the adaptive method is applied to a singly-periodic iris-loaded waveguide. The computational cost for these cases is at least an order of magnitude lower than even the cost of solving the full size linear eigenvalue problem at each frequency. === Dans les dernières décennies Les structures périodiques ont connu un très grand succès dans les domaines technologiques comme la radiofréquence (RF) et les micro- ondes suite à une large utilisation. La compréhension du comportement modal de ces structures nécessite une étude des valeurs propres appelée analyse de la dispersion, à laquelle la méthode des éléments finis (FEM) a été appliquée avec succès. L'approche classique consiste à spécifier une constante de propagation purement imaginaire et de trouver la fréquence correspondante. Cette méthode fournit des informations concernant le comportement dans la bande passante, mais pas dans la bande d'arrêt, et en outre ne permet pas d'appliquer des matériaux avec pertes ou qui dépendent de la fréquence.Récemment, une nouvelle variante de la FEM a été rapportée et qui permet à l'utilisateur de spécifier la fréquence et de trouver la constante de propagation complexe. Cependant, la méthode est arithmétiquement inefficace et incapable de gérer les problèmes réels en 3D. L'objectif de cette thèse porte sur l'amélioration de l'efficacité, en trois étapes. Dans la première étape, le problème de la forme quadratique de matrice à valeurs propres est transformé en un problème linéaire qui a la même taille de la matrice sans perte de généralité, une méthode pour matrices creuses a été utilisée pour le résoudre. Ce qui a permis de réduire le coût du calcul de O(n^3 ) à O(n^1.6 ), où n est la dimension de la matrice. Grâce à cette amélioration spectaculaire, la méthode est capable d'analyser les géométries réalistes 3D pour la première fois. Dans la deuxième étape, une technique de réduction d'ordre du modèle (MOR) est appliquée. Avec MOR, à un seul «point d'expansion» fréquentiel, seulement deux solutions complètes de valeurs propres doivent être obtenues afin de générer le diagramme de dispersion sur toute une bande de fréquences. Puisqu'il n'est plus nécessaire de refaire une résolution complète du système en entier à chaque point de fréquence, le coût global de calcul est considérablement réduit. Malgré l'efficacité de cette approche, la méthode souffre d'une bande de convergence réduite, car l'erreur augmente au fur et à mesure que la fréquence s'éloigne du point d'expansion. Dans la troisième étape, un algorithme adaptatif a été développé. Cet algorithme utilise des points d'extension multiples et un estimateur d'erreur intelligent qui nous indique l'endroit où on doit utiliser un autre point d'expansion de telle sorte que l'erreur ne dépasse pas un seuil donné. De plus, un système de suivi adaptatif a été élaboré, qui ajuste la valeur du pas fréquentiel pour garantir que le même mode de propagation est suivi sur toute la bande de fréquence.A chaque étape, les nouvelles méthodes ont été appliquées pour quatre structures périodiques: un tableau triplement périodique de cubes métalliques et trois structures planaires utilisées pour la suppression du bruit dans les circuits numériques à grande vitesse. En outre, la méthode adaptative a été appliquée à un guide d'ondes à période unique chargé d'iris. Le coût de calcul pour ces cas est d'au moins un ordre de grandeur plus faible que le même coût de la résolution de la taille linéaire du problème au complet aux valeurs propres et à chaque fréquence.