| Summary: | This thesis proposes a novel way to find the electromagnetic fields when the computational domain is defined by a fine grid of pixels (2D) or voxels (3D). This happens quite often in bioelectromagnetic problems, since tissue shapes are usually obtained by tomography.The proposed method is a finite element method in which, in 3D, each element is simply a set of p × p × p voxels, where p is an integer. It therefore avoids the heavy burden of surface extraction and meshing. Since there may be multiple materials within one element, conventional basis functions are not suitable. Instead, basis functions are computed using the voxel grid, so that the internal discontinuities are respected.The idea is first tested on problems consisting of nested squares (2D) and cubes (3D) of dielectric, with a charge pair placed inside. The results obtained by using different element sizes p agree well with those obtained by commercial software: when p = 4, the root-mean-square (RMS) difference is 1.5 % of the maximum potential.Then the new method is applied to solve an electroencephalography (EEG) problem, in which the head is modelled as a volume conductor and neural activity by current dipoles. The head model consists of 180×217×181 voxels. The computed electric potential is sampled along a contour on the outer side of the scalp, for different element sizes p. These results, again, agree well with a reference solution: for p = 4, the RMS difference is about 1% of the maximum potential. Solving one FE problem with p = 4 is 4.7 times faster than when using each voxel as an element, i.e., p = 1. When the solution is required for multiple righthand sides, as is common, the speedup is greater. For example, with 24 righthand sides, the p = 4 solution is 40 times faster than when p = 1. === Cette thése propose une nouvelle technique pour trouver les champs électromagnétiques lorsque le domaine de calcul est défini par un dense quadrillage de pixels (2D) ou voxels (3D). Un scénario qui arrive souvent dans le domaine de bioelectromagnetic, puisque les géométries des tissus sont généralement obtenues par tomographie.La technique proposée dans cette thése est une méthode des éléments finis dans laquelle, chaque élément 3D est un ensemble de p × p × p voxels (p est un nombre entier). Par conséquent, cette technique évite la difficile tâche de l'extraction de surface et de maillage. Comme un élément peut être composé de différents matériaux, les fonctions de base classiques ne sont plus pertinentes. Ainsi, les fonctions de base sont calculées en utilisant les grilles de voxels, afin de respecter des discontinuités internes. L'idée est d'abord testée sur des problèmes comprenant des carrés imbriqués (2D) et des cubes (3D) de diélectrique, avec une paire de charge placée à l'intérieur. Les résultats obtenus en utilisant différentes tailles d'élément (p) sont en bon accord avec ceux obtenus par un logiciel commercial: pour p = 4, la différence quadratique moyenne (RMS) est 1,5% du potentiel maximum. Ensuite, la nouvelle méthode est appliquée pour résoudre un problème électroencéphalographie (EEG), dans lequel la tête est modélisée par un volume conducteur et l'activité neuronale par des dipôles. Le modèle de tête se compose de 180×217×181 voxels. Le potentiel électrique calculée est échantillonné sur un contour sur le côté extérieur du cuir chevelu, pour différentes tailles d'élément, p. Ces résultats sont toujours en bon accord avec une solution de référence: pour p = 4, la quadratique moyenne (RMS) est d'environ 1% du potentiel maximum. Résoudre un problème des éléments finis avec p = 4 est 4,7 fois plus rapide que le cas que chaque voxel est considéré comme un seul élément, c'est à dire, p = 1. Lorsque le résoudre pour plusieurs côtés droits est recherché, qui est vrais dans plupart des cas, l'accélération est plus grande. Par exemple, avec 24 côtés droits, la solution pour p = 4 est 40 fois plus rapide que le cas de p = 1.
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