The leverage effect in stochastic volatility: new models, Bayesian inference, and model selection

• Main Author: Mehrabian, Amanollah
• Other Authors: David Stephens (Internal/Supervisor)
• Format: Others
• Language: en
• Published: McGill University 2012
• Subjects: Pure Sciences - Statistics
• Online Access: http://digitool.Library.McGill.CA:80/R/?func=dbin-jump-full&object_id=107636

A striking empirical feature of many financial time series is that when the price drops, the future volatility increases. This negative correlation between the financial return and future volatility processes was initially addressed in Black 76 and explained based on financial leverage, or a firm's debt-to-equity ratio: when the price drops, financial leverage increases, the firm becomes riskier, and hence, the future expected volatility increases. The phenomenon is, therefore, traditionally been named the leverage effect. In a discrete time Stochastic Volatility (SV) model framework, the leverage effect is often modelled by a negative correlation between the innovation processes of return and volatility equations. These models can be represented as state space models in which the returns and the volatilities are considered as the observed and the latent state variables respectively. Including the leverage effect in the SV model not only results in a better fit of the model to several types of financial time series, but also yields significant improvements in option pricing applications. Statistical inference and model selection for such models are, in general, involved, mainly due to the fact that the model likelihood is not available in analytical closed-form and appears as a high-dimensional integral over the latent volatility vector. In this thesis, we apply Markov chain Monte Carlo (MCMC) methods (based on the influential work of Jacquier Et al 94) for parameter estimation. For model selection purposes, based on the Deviance Information Criterion (DIC) (introduced by Spiegelhalter Et al 02), we utilize a version of the DIC in which the latent volatility variables are integrated out. We then elaborate on new models for the leverage effect. The important contributions of this thesis can be outlined as follows: In Section Bayesian Model Selection we demonstrate, through extensive simulations, that when applying the DIC to the SV model selection problem, the latent volatility variables must be integrated out, otherwise the model selection conclusions will be potentially misleading. We use particle filtering algorithm (based on sequential Monte Carlo methods) to estimate the marginal likelihood of the SV model. We then use numerical maximization techniques to calculate the Akaike/Bayesian information criteria to test for the leverage effect in a selection of real financial time series. This method is applied as an alternative to the DIC model selection method and is shown to yield similar results (Section MLforSV). In order to capture a potential nonlinear extreme value dependence structure between the returns and volatilities, in Chapter 3 we propose a new model that incorporates copulas into SV models. We develop the corresponding Bayesian inference methodology for the new model and show that for a wide selection of stock prices and indices, a Gaussian copula is favoured to the extreme value copulas. In Section SVAL we propose a new model which assumes that the leverage effect is a time-varying stochastic process. Specifically, we consider an intuitively-supported high-persistence autoregressive process for the leverage effect. We then develop the corresponding Bayesian inference methodology and show that our new model outperforms the conventional fixed-leverage SV models in terms of the DIC. In Section SVRV we propose a model that incorporates the realized volatility (which is an accurate estimator of the true volatility) into the SV model. Our model improves upon an existing similar model by correcting a subtle leverage timing issue and capturing the correlation between the realized volatility and the returns.We test all our new models on simulated data as well as several real financial time series including stock prices, stock indices, and foreign exchange time series. === Dans beaucoup de séries chronologiques financières, on observe qu'une chute de prix provoque une hausse de la volatilité. Ce phénomène a d'abord été étudié par Black (1976), qui l'a attribué au fait que la diminution de la valeur d'un titre accroît le rapport entre la dette et les fonds propres de l'entreprise, ce qui augmente le risque et, par conséquent, la volatilité. C'est ce que l'on appelle traditionnellement l'effet de levier. Pour rendre compte de l'effet de levier dans les modèles de volatilité stochastique à temps discret, on suppose souvent que les processus d'innovation des rendements sont corrélés négativement avec ceux des équations régissant la volatilité. On postule typiquement un modèle à espace d'états dans lequel les rendements sont observés et les volatilités sont des variables latentes. La prise en compte de l'effet de levier permet non seulement d'obtenir un meilleur ajustement de ces modèles pour divers types de séries chronologiques financières, mais aussi d'améliorer de façon significative l'évaluation des options. Toutefois, les procédures d'inférence statistique et de sélection de tels modèles sont généralement complexes, notamment parce que la vraisemblance ne s'exprime qu'en termes d'une intégrale multidimensionnelle faisant intervenir le vecteur des volatilités latentes. Dans cette thèse, on propose donc d'estimer les paramètres de ces modèles au moyen de l'algorithme de Monte-Carlo par chaîne de Markov décrit, entre autres, dans l'ouvrage de Jacquier et coll. (1994). À des fins de sélection de modèle, on propose aussi une adaptation du critère de déviance d'information (DIC) de Spiegelhalter et coll. (2002) dans laquelle les variables de volatilité latentes sont intégrées. On utilise ensuite ces outils pour développer de nouveaux modèles à effet de levier. Les principales contributions de cette thèse se résument comme suit: Dans la section Bayesian Model Selection, on démontre par voie de simulation que l'application du critère DIC classique au problème de sélection de modèles à volatilité stochastique peut induire l'utilisateur en erreur si les variables de volatilité latentes ne sont pas intégrées. On a recours à des algorithmes de filtration de particules (basés sur des méthodes séquentielles de Monte-Carlo) pour estimer la vraisemblance marginale du modèle. On utilise ensuite des méthodes d'optimisation numériques pour évaluer les critères d'information d'Akaike et bayésiens et tester la présence d'un effet de levier dans diverses séries chronologiques financières réelles. Bien qu'elle se distingue de la méthode DIC, cette technique conduit à des résultats semblables (Section MLforSV). Afin de détecter la présence d'une éventuelle structure de dépendance non linéaire de type extrémal entre les rendements et la volatilité, on propose au chapitre 3 un nouveau modèle à volatilité stochastique dans lequel interviennent des copules. On développe une méthode d'inférence bayésienne adaptée à ce contexte et on montre que pour un grand nombre de titres et d'indices boursiers, la copule gaussienne s'avère préférable aux copules de valeurs extrêmes. Dans la section SVAL, on s'intéresse à la modélisation de l'effet de levier à l'aide d'un processus stochastique temporel. On considère pour ce faire un processus autorégressif à haute persistance dans lequel l'effet de levier se manifeste en accord avec l'intuition. On décrit une méthode d'inférence bayésienne adaptée à ce contexte et on montre qu'en termes de DIC, le modèle proposé se comporte mieux que les modèles à volatilité stochastique avec effet de levier fixe.