| Summary: | Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior === Em uma grande gama de problemas físicos, governados por equações diferenciais, muitas
vezes é de interesse obter-se soluções para o regime transiente e, portanto, deve-se empregar
técnicas de integração temporal. Uma primeira possibilidade seria a de aplicar-se métodos
explícitos, devido à sua simplicidade e eficiência computacional. Entretanto, esses métodos frequentemente
são somente condicionalmente estáveis e estão sujeitos a severas restrições na
escolha do passo no tempo. Para problemas advectivos, governados por equações hiperbólicas,
esta restrição é conhecida como a condição de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL). Quando temse
a necessidade de obter soluções numéricas para grandes períodos de tempo, ou quando o
custo computacional a cada passo é elevado, esta condição torna-se um empecilho. A fim de
contornar esta restrição, métodos implícitos, que são geralmente incondicionalmente estáveis,
são utilizados. Neste trabalho, foram aplicadas algumas formulações implícitas para a integração
temporal no método Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH) de modo a possibilitar o uso
de maiores incrementos de tempo e uma forte estabilidade no processo de marcha temporal.
Devido ao alto custo computacional exigido pela busca das partículas a cada passo no tempo,
esta implementação só será viável se forem aplicados algoritmos eficientes para o tipo de estrutura
matricial considerada, tais como os métodos do subespaço de Krylov. Portanto, fez-se um
estudo para a escolha apropriada dos métodos que mais se adequavam a este problema, sendo
os escolhidos os métodos Bi-Conjugate Gradient (BiCG), o Bi-Conjugate Gradient Stabilized
(BiCGSTAB) e o Quasi-Minimal Residual (QMR). Alguns problemas testes foram utilizados a
fim de validar as soluções numéricas obtidas com a versão implícita do método SPH. === In a wide range of physical problems governed by differential equations, it is often of
interest to obtain solutions for the unsteady state and therefore it must be employed temporal
integration techniques. One possibility could be the use of an explicit methods due to its
simplicity and computational efficiency. However, these methods are often only conditionally
stable and are subject to severe restrictions for the time step choice. For advective problems
governed by hyperbolic equations, this restriction is known as the Courant-Friedrichs-Lewy
(CFL) condition. When there is the need to obtain numerical solutions for long periods of time,
or when the computational cost for each time step is high, this condition becomes a handicap.
In order to overcome this restriction implicit methods can be used, which are generally unconditionally
stable. In this study, some implicit formulations for time integration are used in the
Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH) method to enable the use of larger time increments
and obtain a strong stability in the time evolution process. Due to the high computational cost
required by the particles tracking at each time step, the implementation will be feasible only if
efficient algorithms were applied for this type of matrix structure such as Krylov subspace methods.
Therefore, we carried out a study for the appropriate choice of methods best suited to this
problem, and the methods chosen were the Bi-Conjugate Gradient (BiCG), the Bi-Conjugate
Gradient Stabilized (BiCGSTAB) and the Quasi-Minimal Residual(QMR). Some test problems
were used to validate the numerical solutions obtained with the implicit version of the SPH
method.
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