| Summary: | Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico === Um nÃmero significativo de redes reais possui caracterÃsticas locais ou nÃo-locais bem definidas. NÃs estudamos como estas caracterÃsticas podem influenciar processos de navegaÃÃo e processos percolativos que venham a ocorrer nas mesmas. Primeiramente, estudamos o problema de navegaÃÃo em redes regulares com ligaÃÃes de longo alcance e sujeitas a um vÃnculo de custo. Neste caso, a rede à construÃda a partir de uma rede regular de dimensÃo d a ser melhorada por meio da adiÃÃo de ligaÃÃes de longo alcance (atalhos) com uma probabilidade $P_{ij} sim r_{ji}^{-alpha}$ , onde $r_{ij}$ à a distÃncia de Manhattan entre os sÃtios $i$ e $j$. Mostramos que a condiÃÃo de navegaÃÃo Ãtima, $alpha = d+1$, permanece Ãtima, independente da estratÃgia de navegaÃÃo utilizada, seja ela baseada em um conhecimento local ou global da estrutura da rede. Em seguida, apresentamos um processo de crescimento de agregados que fornece uma clara conexÃo entre a MecÃnica EstatÃstica no equilÃbrio e o processo percolativo nÃo-local conhecido como PercolaÃÃo Explosiva. Mostramos que dois ingredientes sÃo suficientes para obter uma transiÃÃo abrupta na fraÃÃo do sistema ocupada pelo maior agregado: (i) os tamanhos de todos os agregados devem ser mantidos aproximadamente iguais durante o processo percolativo e (ii) a inclusÃo de ligaÃÃes de fusÃo (i.e., ligaÃÃes que conectam agregados diferentes) deve dominar o processo em detrimento de ligaÃÃes redundantes (i.e., ligaÃÃes que conectam sÃtios em um mesmo agregado). Por Ãltimo, introduzimos um modelo que generaliza a regra do produto para PercolaÃÃo Explosiva que revela os efeitos da nÃo-localidade no comportamento crÃtico do processo de percolaÃÃo. Mais precisamente, pares de ligaÃÃes nÃo ocupadas sÃo escolhidos de acordo com uma probabilidade que decai em lei de potÃncia com sua distÃncia de Manhattan, e apenas a ligaÃÃo que conecta agregados para os quais o produto de seus tamanho à o menor, à ocupada. Nossos resultados para redes regulares finitas em diversas dimensÃes sugerem que, na criticalidade, o expoente da lei de potÃncia tem uma influÃncia significativa nos expoentes de escala, onde observa-se uma transiÃÃo nos expoentes da percolaÃÃo tradicional para os expoentes da percolaÃÃo explosiva (nÃo-local) em determinados casos. === A significant number of real networks have well-defined local and nonlocal features. We investigate the influence of these features in the navigation through small-world networks and in explosive percolation. First, we investigate the navigation problem in lattices with long-range connections and subject to a cost constraint. Our network is built from a regular d-dimensional lattice to be improved by adding long-range connections (shortcuts) with probability $P_{ij} sim r_{ij}^{-alpha}, where $r_{ij}$ is the Manhattan distance between nodes $i$ and $j$, and a is $alpha$ variable exponent. We find optimal transport in the system for $alpha = d+1$. Remarkably, this condition remains optimal, regardless of the strategy used for navigation being based on local or global knowledge of the network structure. Second, we present a cluster growth process that provides a clear connection between equilibrium statistical mechanics and the nonlocal explosive percolation process. We show that the following two ingredients are sufficient for obtaining an abrupt transition in the fraction of the system occupied by the largest cluster: (i) the size of all growing clusters should be kept approximately the same, and (ii) the inclusion of merging bonds (i.e., bonds connecting nodes in different clusters) should dominate with respect to the redundant bonds (i.e., bonds connecting nodes in the same cluster). Finally, we introduce a generalization of the product rule for explosive percolation that reveals the effect of nonlocality on the critical behavior of the percolation process. Precisely, pairs of unoccupied bonds are chosen according to a probability that decays as a power law of their Manhattan distance, and only that bond connecting clusters whose product of their sizes is the smallest becomes occupied. Our results for d-dimensional lattices at criticality shows that the power law exponent of the product rule has a significant influence on the finite-size scaling exponents for the spanning cluster, the conducting backbone, and the cutting bonds of the system. For all these types of clusters, we observe a clear transition from ordinary to (nonlocal) explosive percolation.
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