| Summary: | Os problemas de colorac Ëao de vÂertices e de arestas, que consistem em determinar o menor
nÂumero de cores necessÂarias para colorir os vÂertices e arestas de um grafo, respectivamente, de
forma que vÂertices adjacentes e arestas adjacentes, respectivamente, possuem cores distintas,
sËao problemas computacionalmente difÂıceis e sËao objeto de pesquisa recorrente em teoria do
grafos em virtude de inÂumeros problemas prÂaticos que eles modelam.
No presente trabalho, estudamos o pior desempenho dos algoritmos gulosos de colorac Ëao
de vÂertices e de arestas. O algoritmo guloso tem o seguinte princÂıpio geral: receber, um a um,
os vÂertices (respect. as arestas) do grafo a ser colorido, atribuindo sempre a menor cor possÂıvel
ao vÂertice (resp. aresta) a ser colorido. Observamos que colorir de forma gulosa as arestas de
um grafo equivale a colorir de forma gulosa o seu grafo linha, tendo sido este o maior interesse
na pesquisa em colorac Ëao gulosa de arestas.
O pior desempenho dos algoritmos Âe medido pelo maior nÂumero de cores que eles podem
utilizar. No caso da colorac Ëao gulosa de vÂertices, esse Âe o nÂumero de Grundy ou nÂumero
cromÂatico guloso do grafo. No caso da colorac Ëao de arestas, esse Âe o Âındice cromÂatico guloso
ou Âındice de Grundy do grafo. Sabe-se que determinar o nÂumero de Grundy de um grafo qualquer
Âe NP-difÂıcil. A complexidade de determinar o Âındice de Grundy de um grafo qualquer era
entretanto um problema em aberto.
Na presente dissertac Ëao, provamos dois resultados de complexidade. Provamos que o
nÂumero de Grundy de um grafo (q,q−4) pode ser determinado em tempo polinomial. Essa
classe contÂem estritamente a classe dos cografos e P4-esparsos para os quais o mesmo resultado
havia sido estabelecido. Esse resultado generaliza portanto aqueles resultados. O algoritmo
apresentado usa a decomposicÂËao primeval desses grafos, determinando o parËametro em tempo
linear.
No que se refere `a colorac Ëao de arestas, provamos que o problema de determinar o Âındice
de Grundy Âe NP-completo para grafos em geral e polinomial para grafos caterpillar, implicando
que o nÂumero de Grundy Âe polinomial para os grafos linha desses. Mais especificamente
provamos que o Âındice de Grundy dos caterpillar Âe D ou D+1 e apresentamos um algoritmo
polinomial para determinÂa-lo exatamente. === The vertices and edges colorings problems, which consists in determine the smallest number
of colors needed to color the vertices and edges of a graph, respectively, so that adjacent
vertices and adjacent edges, respectively, have distinct colors, are computationally hard problems
and recurring subject of research in graph theory due to numerous practical problems
they model.
In this work, we study the worst performance of greedy algorithms for coloring vertices and
edges. The greedy algorithm has the following general principle: to receive, one by one, the
vertices (respect. edges) of the graph to be colored by assigning always the smallest possible
color to the vertex (resp. edge) to be colored. We note that so greedy coloring the edges of a
graph is equivalent to greedily coloring its line graph, this being the greatest interest in research
on greedy edges coloring.
The worst performance of the Algorithms is measured by the greatest number of colors they
can use. In the case of greedy vertex coloring, this is the number of Grundy or greedy chromatic
number of the graph. For the edge coloring, this is the greedy chromatic index or Grundy index
of the graph. It is known that determining the Grundy number of any graph is NP-hard. The
complexity of determining the Grundy index of any graph was however an open problem.
In this dissertation, we prove two complexity results. We prove that the Grundy number of
a (q,q−4)-graph can be determined in polynomial time. This class contains strictly the class
of cografos P4-sparse for which the same result had been established. This result generalizes so
those results. The presented algorithm uses the primeval decomposition of graphs, determining
the parameter in linear time.
About greedy edge coloring, we prove that the problem of determining the Grundy index is
NP-complete for general graphs and polynomial for catepillar graphs, implying that the Grundy
number is polynomial for graphs of line of caterpillars. More specifically, we prove that the
Grundy index of a caterpillar is D or D+1 and present a polynomial algorithm to determine it
exactly.
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