Uma demonstraÃÃo do teorema de Grayson sobre evoluÃÃo de curvas planas pela curvatura

• Main Author: CÃcero Tiarlos Nogueira Cruz
• Other Authors: Levi Lopes de Lima
• Format: Others
• Language: Portuguese
• Published: Universidade Federal do Cearà 2011
• Subjects: GEOMETRIA DIFERENCIAL
• Online Access: http://www.teses.ufc.br/tde_busca/arquivo.php?codArquivo=5731

Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico === Baseados no recente trabalho de Andrews e Bryan [2], apresentamos uma nova demonstraÃÃo do famoso teorema de Grayson [4], que descreve o comportamento assimptÃtico de curvas planas fechadas e simples evoluindo pelo fluxo da curvatura. A demonstraÃÃo representa uma simplificaÃÃo notÃvel em relaÃÃo aos mÃtodos anteriores e consiste em normalizar o fluxo de forma a preservar o comprimento (igual a 2pi). Feito isto, estabelece-se uma desigualdade isoperimÃtrica que controla inferiormente o comprimento de cordas em termos do comprimento dos arcos correspondentes e do tempo decorrido. Essa estimativa à precisa o suficiente para permitir controlar uniformemente a curvatura ao longo do tempo, o que implica, sem muitas dificuldades, que a curvatura do fluxo normalizado converge uniformemente na topologia C∞ para a funÃÃo identicamente igual a 1. === Based on the recent work by Andrews and Bryan [2] we present a new proof of the celebrated Grayson's theorem [4], which describes the asymptotic behavior of simple curves evolving by the curve shortening ow. The proof represents a remarkable simplication over the previous methods and consist of normalizing the ow in order to preserve the length (equal to 2pi). It is then established an isoperimetric inequality which provides a lower bound for the length of chords in terms of the corresponding arcs and elapsed time. This estimate is suciently strong to uniformly control the curvature in time,implying, without many difficulties, that the curvature of the normalized ow converges in the C∞ topology to the function identically equal to 1.