Teoria geométrica da medida e aplicações

• Main Author: Silva, João Vitor da
• Other Authors: Teixeira, Eduardo Vasconcelos Oliveira
• Language: Portuguese
• Published: 2011
• Subjects: Superfícies mínimas; Hipersuperfícies; Desigualdades(matemática); Análise
• Online Access: http://www.repositorio.ufc.br/handle/riufc/877

SILVA, João Vítor da ; TEIXEIRA, Eduardo Vasconcelos Oliveira. Teoria geométrica da medida e aplicações. 2011. 209f. : Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do Ceará, Pós-Graduação em Matemática, Fortaleza-CE, 2011. === Submitted by Rocilda Sales ([e-mail]) on 2011-10-10T11:40:54Z No. of bitstreams: 1 2011_dis_jvsilva.pdf: 7539804 bytes, checksum: 1a754d7853f436f76840d130556b696e (MD5) === Approved for entry into archive by Rocilda Sales([e-mail]) on 2011-10-10T11:50:18Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2011_dis_jvsilva.pdf: 7539804 bytes, checksum: 1a754d7853f436f76840d130556b696e (MD5) === Made available in DSpace on 2011-10-10T11:50:18Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2011_dis_jvsilva.pdf: 7539804 bytes, checksum: 1a754d7853f436f76840d130556b696e (MD5) Previous issue date: 2011 === This master thesis aims to study some of the work of the Italian mathematician Ennio De Giorgi which refer to the existence and regularity of minimal surfaces but they do not fully contextualized within the framework of differential geometry but rather focused on a field of mathematics that implemented a few decades Geometric Measure Theory. According to the definitions of Ennio De Giorgi will study surfaces, which gave to the same as certain boundarys of sets, which are denoted sets Caccioppoli, this honor given by De Giorgi the Italian mathematician Renato Caccioppoli. These sets have many interesting geometric properties, such as adimits canonical tangent plan almost everywhere, and have "perimeter" finite. The above results will see that even the size 7 all the solutions to the problem of Plateau are regular and in general their regular class is C1,α. Finally, the results of this study are mostly based on the work: Minimal Surface and Function of Bounded Variation of the author Enrico Giusti, which summarizes the techniques of Geometric Measure Theory relating to the work of Ennio De Girogi on a regularity theory of minimal surfaces Theorem (De Giorgi- Federer- Massari - Miranda) Let Ω contains in R^n, n>1 an open set and E contains in R^n a Caccioppoli set satisties to α in (0, 1) ψ(E, Bρ(x)) < cρ^(n-1+2α) for every x in Ω and every ρ in (0, R), with c and R positive constants. Then the reduced boundary is a hipersurface analitic C1,α in Ω, e H^s((∂ E - ∂E) Ω) = 0 for every s > n - 8. Furthemore, suppose that Ej is a sequence of minimal sets in B1 locally converging at minimal set C. Let x in ∂ C and xj in Ej , xj converging at x. Then, if j is enough large , xj is a regular point for ∂Ej and νEj(xj) converges to ν(x), where ν(x) is a normal vector relative at Ej, ∂ E denots the boundary reduced of E and H^s denots the Hausdorff measure. === O presente trabalho de mestrado visa estudar alguns dos trabalhos do matemático italiano Ennio De Giorgi os quais fazem referência a existência e regularidade de superfícies mínimas mas estas não contextualizadas integralmente no âmbito da Geometria Diferencial mas sim voltadas a um campo da matemática a algumas décadas implementada que a Teoria Geométrica da Medida. Segundo as definições de Ennio De Giorgi iremos estudar superfícies, que para o mesmo se davam como bordos de certos conjuntos, os quais são denotados de conjuntos de Caccioppoli, homenagem esta dada por Di Giorgi ao matemático italiano Renato Caccioppoli. Tais conjuntos tem muitas propriedades geométricas interessantes, como por exemplo adimetem plano tangente canônico em quase todo ponto, e, possuem “perímetro” finito. Os resultados expostos constatarão que até a dimensão 7 todas as soluções do problema de Plateau são regulares e em geral sua classe de regularidade é C1,α. Enfim, os resultados deste trabalho em sua maioria serão baseados na obra: Minimal Surface and Function of Bounded Variation do autor Enrico Giusti, o qual resume bem as técnicas de Teoria Geométrica da Medida referentes aos trabalhos de Ennio De Girogi sobre teoria de regularidade de superfícies mínimas. Teorema (De Giorgi-Federer-Massari-Miranda). Sejam Ω contido em R^n, n >1 um conjunto aberto e E contido em R^n um conjunto de Caccioppoli satisfazendo para α em (0, 1) ψ(E, Bρ(x)) < cρ^(n-1+2α) para todo x em Ω e todo ρ em (0, R), com c e R constantes positivas. Então a fronteira reduzida é uma hipersuperfície analítica C1,α em Ω, e H^s((∂ E - ∂E) Ω) = 0 para todo s > n - 8. Além disso, suponha que Ej é uma sequência de conjuntos minimais em B1 convergindo localmente a um conjunto mínimal C. Sejam x em ∂ C e xj em Ej , xj convergindo a x. Então, se j é suficientemente grande, xj é um ponto regular para ∂Ej e νEj(xj) converge a ν(x), onde ν(x) é o vetor normal relativo a Ej, ∂ E denota a fronteira reduzida de E e H^s denota a medida de Hausdoff.