Rigidez de métricas críticas para funcionais riemannianos.

• Main Author: Silva, Adam Oliveira da
• Other Authors: Barros, Abdênago Alves de
• Language: Portuguese
• Published: 2017
• Subjects: Métricas críticas; Funcionais quadráticos; Métrica de Einstein; Curvatura escalar; Funcional volume; Forma espacial; Bolas geodésicas; Critical metrics; Quadratic functionals; Einstein metrics; Scalar curvature; Volume functional; Space form; Geodesic balls
• Online Access: http://www.repositorio.ufc.br/handle/riufc/25969

SILVA, Adam Oliveira da. Rigidez de métricas críticas para funcionais riemannianos. 2017. 78 f. Tese (Doutorado em Matemática) – Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2017. === Submitted by Andrea Dantas ([e-mail]) on 2017-09-19T19:08:04Z No. of bitstreams: 1 2017_tese_aosilva.pdf: 481005 bytes, checksum: 2bdfc6ab68b042a5cfd4f67caf1e21e4 (MD5) === Rejected by Rocilda Sales ([e-mail]), reason: Bom dia, Estou devolvendo a Tese de ADAM OLIVEIRA DA SILVA, para que o arquivo seja substituído, pois o aluno já veio na BCM e orientei quais eram as correções a serem feitas. Atenciosamente, on 2017-09-20T14:03:26Z (GMT) === Submitted by Andrea Dantas ([e-mail]) on 2017-09-20T16:47:21Z No. of bitstreams: 1 2017_tese_aosilva.pdf: 480774 bytes, checksum: a1267dd82f8a82a19f79902004e1afb5 (MD5) === Approved for entry into archive by Rocilda Sales ([e-mail]) on 2017-09-21T12:26:34Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2017_tese_aosilva.pdf: 480774 bytes, checksum: a1267dd82f8a82a19f79902004e1afb5 (MD5) === Made available in DSpace on 2017-09-21T12:26:35Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2017_tese_aosilva.pdf: 480774 bytes, checksum: a1267dd82f8a82a19f79902004e1afb5 (MD5) Previous issue date: 2017-09-15 === The aim of this work is to study metrics that are critical points for some Riemannian functionals. In the first part, we investigate critical metrics for functionals which are quadratic in the curvature on closed Riemannian manifolds. It is known that space form metrics are critical points for these functionals, denoted by F t,s (g). Moreover, when s = 0, always Einstein metrics are critical to F t (g). We proved that under some conditions the converse is true. For instance, among others results, we prove that if n ≥ 5 and g is a Bach-flat critical metric to F −n/4(n−1) , with second elementary symmetric function of the Schouten tensor σ 2 (A) > 0, then g should be Einstein. Furthermore, we show that a locally conformally flat critical metric with some additional conditions are space form metrics. In the second part, we study the critical metrics to volume functional on compact Riemannian manifolds with connected smooth boundary. We call such critical points of Miao-Tam critical metrics due to the variational study making by Miao and Tam (2009). In this work, we show that the geodesics balls in space forms Rn , Sn and Hn have the maximum possible boundary volume among Miao-Tam critical metrics with connected boundary provided that the boundary be an Einstein manifold. In the same spirit, we also extend a rigidity theorem due to Boucher et al. (1984) and Shen (1997) to n-dimensional static metrics with positive constant scalar curvature, which give us another way to get a partial answer to the Cosmic no-hair conjecture already obtained by Chrusciel (2003). === Este trabalho tem como principal objetivo estudar métricas que são pontos críticos de alguns funcionais Riemannianos. Na primeira parte, investigaremos métricas críticas de funcionais que são quadráticos na curvatura sobre variedades Riemannianas fechadas. É de conhecimento que métricas tipo formas espaciais são pontos críticos para tais funcionais, denotados aqui por F t,s (g). Além disso, no caso s = 0, métricas de Einstein são sempre críticas para F t (g). Provamos que sob algumas condições, a recíproca destes fatos são verdadeiras. Por exemplo, dentre outros resultados, provamos que se n ≥ 5 e g é uma métrica Bach-flat crìtica para F−n/4(n−1) com segunda função simétrica elementar do tensor de Schouten σ 2 (A) > 0, então g tem que ser métrica de Einstein. Ademais, mostramos que uma métrica crítica localmente conformemente plana, com algumas hipóteses adicionais, tem que ser tipo forma espacial. Na segunda parte, estudamos as métricas críticas do funcional volume sobre variedades Riemannianas compactas com bordo suave conexo. Chamamos tais pontos críticos de métricas críticas de Miao-Tam, devido ao estudo variacional feito por Miao e Tam (2009). Neste trabalho provamos que as bolas geodésicas das formas espaciais Rn , S n e H n possuem o valor máximo para o volume do bordo dentre todas as métricas críticas de Miao-Tam com bordo conexo, desde que o bordo seja uma variedade de Einstein. No mesmo sentido, também estendemos um teorema de rigidez devido à Boucher et al. (1984) e Shen (1997) para métricas estáticas de dimensão n e com curvatura escalar constante positiva, o qual nos fornece outra maneira para obter uma resposta parcial para a Cosmic no-hair conjecture já obtida por Chrusciel (2003).