Hipersuperfícies em Rp+q+2 de curvatura escalar nula invariantes por O(p+1) x O(q+1).

• Main Author: Melo, Rodrigo Fernandes de Moura
• Other Authors: Espinoza, Fernando Enrique Echaiz
• Format: Others
• Language: Portuguese
• Published: Universidade Federal de Alagoas 2015
• Subjects: Cone; Curvatura escalar; Curva geratriz; Grupo de Lie; Hipersuperfície; Hypersurface; Lie group; Profile curve; Scalar curvature; CNPQ::CIENCIAS EXATAS E DA TERRA::MATEMATICA
• Online Access: http://repositorio.ufal.br/handle/riufal/1030

This dissertation has as base Jocelino Sato and Vicente de Souza Neto's paper called Complete and Stable O(p + 1) x O(q + 1)-Invariant Hypersurfaces with Zero Scalar Curvature in Euclidean Space Rp+q+2, published on the Annals of Global Analysis and Geometry - 29 in 2006. The main result of this dissertation is the Classi_cation Theorem, which states: The O(p+1) x O(q+1)-Invariant Hypersurfaces in Rp+q+2, p; q > 1, with zero scalar curvature belong to one of the following classes: (1) Cones with a singularity at the orign of Rp+q+2; (2) Hypersurfaces having one orbit of singularity and asymptoting both of the cones Cα and Cβ; (3) Regular hypersurfaces asymptoting the cone Cα; (4) Regular hypersurfaces asymptoting the cone Cβ; (5) Regular hypersurfaces asymptoting both of the cones Cα and Cβ. It was reached by the studies of the ordinary differential equation on R2, involving the coordenate curves that generate these hypersurfaces. Such differential equation, in its turn, is associated with a vector field X : R22 → R2 on the plan. The study of the orbits space in this field is essential; after all, because of it, it was possible to translate the X orbits' behavior into information concerning the profile curves and, finally, reach the theorem. === Fundação de Amparo a Pesquisa do Estado de Alagoas === Esta dissertação está baseada no artigo de Jocelino Sato e Vicente de Souza Neto intitulado Complete and Stable O(p+1) x O(q+1) - Invariant Hypersurfaces with Zero Scalar Curvature in Euclidean Space Rp+q+2, publicado na revista Annals of Global Analysis and Geometry, volume 29, em 2006. O principal resultado desta dissertação é o Teorema de Classicação, que afirma o seguinte: Uma hipersuperfície Mp+q+1 que é invariante pela açãoao do grupo O(p + 1) x O(q + 1), p; q > 1, com curvatura escalar identicamente nula deve pertencer a uma das seguintes classes: (1) Cones com uma singularidade na origem de Rp+q+2; (2) Hipersuperfícies possuindo uma órbita de singularidades e assintotando ambos os cones Cα e Cβ; (3) Hipersuperfícies regulares que assintotam o cone Cα; (4) Hipersuperfícies regulares que assintotam o cone Cβ; (5) Hipersuperfícies regulares que assintotam ambos os cones Cα e Cβ. A demonstração do teorema requer um estudo de uma equação diferencial ordinária envolvendo as coordenadas das curvas, no plano, que geram estas hipersuperfícies. Esta equação diferencial, por sua vez, está associada a um campo de vetores X : R2 → R2 no plano. O estudo do retrato de fase deste campo é fundamental. Através dele, foi possível traduzir o comportamento das trajetórias de X em informações com respeito às curvas geratrizes e desta maneira obter o teorema.