Controle temporal em métodos adaptativos espaciais híbridos wavelet - diferenças finitas

• Main Author: Flávia Costa Gomes de Mendonça
• Other Authors: Elbert Einstein Neher Macau
• Language: Portuguese
• Published: Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais 2008
• Online Access: http://urlib.net/sid.inpe.br/mtc-m17@80/2008/06.03.17.11

Nas últimas décadas, vários métodos vem sendo desenvolvidos utilizando ferramentas wavelet, para resolução de equações diferenciais parciais com adaptabilidade espacial e evolução temporal. Essas técnicas utilizam tradicionalmente métodos explícitos para a discretização no tempo. A necessidade de métodos temporais mais eficientes e que mantenham a estabilidade do esquema numérico também vem sendo abordada, em especial, com o aperfeiçoamento dessas técnicas espaciais em métodos híbridos, wavelets - diferenças finitas em equações diferenciais parciais evolutivas. O grande desafio de tais métodos é permitir uma evolução numérica da solução em uma malha discreta economica com o maior passo de tempo possível, mantendo a dinamica do modelo. Nas aplicaçooes deste trabalho, considera-se a estratégia adaptativa espacial denominada Representação Esparsa de Pontos, proposta por Holmström, em 1999. Neste método, a cada passo de tempo, um novo sistema de equações diferenciais ordinárias é formado para a evolução temporal. Para esta evolução, são utilizados os métodos de Runge-Kutta Encaixados, propostos inicialmente por Fehlberg, por volta de 1960. Neste contexto numérico adaptativo, o problema de escolha do tamanho do passo de tempo, pode ser visto como um problema de controle retroalimentado do tipo Proporcional-Integral (PI). Esta técnica de controle tem sido testada para métodos de Runge-Kutta explícitos e tem apresentado boas propriedades. Os estudos desta dissertação de mestrado sao dedicados à avaliação do desempenho numérico e computacional de esquemas adaptativos temporais, juntamente com um esquema wavelet adaptativo espacial, visando um aperfeiçoamento dos mesmos com a introdução da técnica PI. Para esta avaliação, são utilizadas a Equação de Burgers e a Equação de Korteweg-de Vries. Os resultados apresentados apontam técnicas mais eficientes computacionalmente e com aplicações a outros esquemas de interesse na ciencia espacial. === In recent decades, several methods have been developed using tools wavelet, for resolution of partial differential equations with adaptability spatial and temporal evolution. These techniques use traditionally explicit methods for the discretization in time. The need for more efficient temporal methods which maintain the stability of the numerical scheme has also been studied, in particular, with the improvement of these spatial techniques in hybrids methods, wavelets - finite difference in evolutionary partial differential equations. The great challenge of such methods is to allow a numerical evolution of the solution in a economic discrete mesh, with the longest step of time possible, maintaining the momentum of the model in question. In applications of this work, the spatial adaptive strategy called Sparse Point Representation (SPR) is used, proposed by Holmstr¨om, in 1999. In this method, in each step of time, a new system of ordinary differential equations is formed for the temporal evolution. For this evolution, the methods of Runge-Kutta Embedded are used, proposed initially by Fehlberg, around 1960. In these numerical adaptative context, the problem of choosing the size of the step of time, can be seen as a problem of controlling of the type Proportional-Integral (PI). This technique of control, has been tested for explicit methods of Runge-Kutta and has shown good properties. The studies of this masters dissertation, are dedicate to the evaluation of performance numerical and computational of schemes adaptive temporal, together with a scheme adaptive spatial wavelet, being the target an improvement of the same with the introduction of the control PI. For this evaliation the Burgerss equation and the Korteweg-de Vriess equation are used. These results suggest techniques computationally more efficient and with applications to other schemes of interest in space science.