Relaxação langrangena com divisão em clusters para alguns problemas de otimização modelados em grafos de conflitos

• Main Author: Glaydston Mattos Ribeiro
• Other Authors: Luiz Antonio Nogueira Lorena
• Language: Portuguese
• Published: Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais 2007
• Online Access: http://urlib.net/sid.inpe.br/mtc-m17@80/2007/12.18.18.31.31

Muitos problemas de otimizaçãoo combinatória podem ser modelados por meio de um grafo especial denominado grafo de conflitos. Quando estes grafos apresentam-se esparsos, bem adaptados para uma fase de particionamento, ou seja, quando apresentam agrupamentos de vértices bem definidos (clusters), as arestas que conectam os clusters podem ser relaxadas no sentido lagrangeano, e o problema relaxado pode ser decomposto e resolvido. Essa é a idéia da relaxação lagrangeana com clusters (LagClus) proposta neste trabalho. A vantagem desta relaxação reside no fato de que os subproblemas gerados apresentam estruturas semelhantes às do problema original, consequentemente, os limitantes duais obtidos sao melhores que os de uma relaxação lagrangeana tradicional sobre todas as arestas do grafo de conflitos. A LagClus foi aplicada com exito a Problemas como o da Rotulação Cartográfica de Pontos (PRCP), do Carregamento de Paletes do Produtor (PCPP), da Estivagem de Unidades de Celulose (PEUC) e da Programa¸cao Diária de Imagens de um Satélite de Observação (PPDISO). Por outro lado, a decomposição do grafo de conflitos permite com que o problema seja modelado segundo a decomposição Dantzig-Wolfe, em que o Problema Mestre Restrito (PMR) é formado pelas restrições de acoplamento (restrições de conexão dos clusters) e o subproblema gerador de colunas, pelos clusters definidos no particionamento. Resultados computacionais comprovam a equivalencia entre a LagClus e essa decomposição. Seguindo a linha dos modelos matemáticos, este trabalho ainda apresenta novas formulações matemáticas para o PRCP, PEUC e PPDISO que foram baseadas na teoria de cortes. Resultados computacionais, principalmente para o PPDISO, mostram que a inserção de cortes adequados leva a formulações mais fortes que em um tempo computacional reduzido, permitem encontrar a solução ótima de várias instancias presentes na literatura. === Several combinatorial optimization problems can be modeled by a special graph denoted conflict graph. When these graphs are sparses well-adapted for a previous clustering phase, i.e, when they have clusters of vertices, the edges inter clusters can be relaxed in a lagrangean fashion, and the relaxed problem can be decomposed into sub problems and solved. This is the idea of the lagrangean relaxation with clusters (LagClus). The sub problems have similar structure of the original problem. Therefore the dual bounds are better than the traditional lagrangean relaxation over all edges of the conflict graph. This is the main advantage of the LagClus. We successful applied the LagClus over different problems present in the literature: Point-Feature Cartographic Label Placement Problem (PFCLP), Manufacturers Pallet Loading Problem (MPLP), Woodpulp Stowage Problem (WSP) and Daily Photograph Scheduling Problem of an Earth Observation Satellite (DPSPEO). The decomposition of the conflict graph allows us to model the problem using the Dantzig-Wolfe decomposition, where the Restricted Master Problem (RMP) is defined by coupling constraints (all edges connecting the clusters) and the sub problem by the clusters obtained in the partitioning phase. Computational results show the equivalence between LagClus and this decomposition. This work also presents new mathematical formulations for three problems: PFCLP, WSP and DPSPEO. All these formulation are based on cutting theory. Computational tests, mainly for DPSPEO, show that when we insert interesting cuts generating new formulations, the optimal solutions can be found very quickly.