| Summary: | Neste trabalho, tratamos da teoria fundamental de dicotomias para certa equação diferencial linear com impulsos a tempo pré-fixado. Consideramos condições necessárias e suficientes para a existência de dicotomia exponencial e dicotomia ordinária para esta equação e apresentamos algumas consequências destes fatos. Escrevemos abreviadamente EDI para significar equação diferencial impulsiva. Alguns dos resultados interessantes contidos neste texto estão descritos a seguir. Apresentamos algumas relações entre crescimento limitado e dicotomia exponencial para a EDI em estudo. Apresentamos, também, condições para a equivalência entre a existência de dicotomia exponencial para a EDI que tratamos e a admissibilidade de certos pares de funções para uma perturbação desta EDI. Em particular, se nossa EDI tiver uma dicotomia exponencial, então, dada certa perturbação limitada, obtemos uma EDI não-homogênea que admitirá solução também limitada e vale a recíproca. Nós contribuímos com este resultado provando o fato de que o espaço das funções limitadas pode ser substituído pelo espaço das funções limitadas com limite no infinito. Assim, se a EDI tiver uma dicotomia exponencial, então dada uma perturbação limitada com limite no infinito, a EDI perturbada admitirá uma solução também limitada e com limite no infinito e a recíproca é verdadeira. Outro resultado importante diz que se a EDI estudada for quase periódica e tiver uma dicotomia exponencial sobre R+, então ela terá uma dicotomia exponencial sobre toda a reta. E a nossa contribuição aqui se deu através de um resultado mais geral que diz que se a EDI tiver uma dicotomia sobre um intervalo finito de comprimento suficientemente grande, então ela terá uma dicotomia sobre toda a reta.
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In this work we deal with the fundamental theory of dichotomies for a linear differential equation with pre-assigned moments of impulse effects. We consider necessary and sufficient conditions for the existence of each of two types of dichotomies for this equation: ordinary and exponential dichotomies, and we present some consequences of these facts. We write IDE for impulsive differential equation. Some interesting results are mentioned below. We present some relations between bounded growth and the existence of exponential dichotomy for the IDE in question. We also present the equivalence between the existence of an exponential dichotomy for our IDE and the admissibility of certain pairs of function for the IDE with a perturbation. In particular, if our IDE has an exponential dichotomy, then given certain bounded perturbation, we obtain a non-homogeneous IDE which admits a bounded solution and the converse holds. We contribute to this result showing that the space of bounded functions can be replaced by the space of bounded function with limit at infinity. This means that if our IDE has an exponential dichotomy, then for any bounded perturbation with limit at infinity, the perturbed IDE admits a bounded solution with limit at infinity and we also have a converse. Another interesting result says that if the IDE we study is almost periodic and has an exponential dichotomy on M+ then it also has an exponential dichotomy on E. We generalize this results proving that if our IDE has an exponential dichotomy on a finite interval of sufficiently large length, then the IDE also has an exponential dichotomy on R.
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