Estática e dinâmica do modelo gaussiano

• Main Author: Eduardo do Carmo
• Other Authors: Silvio Roberto de Azevedo Salinas
• Language: Portuguese
• Published: Universidade de São Paulo 2007
• Subjects: Dínâmica de sistemas desordenados; Física Estatística; Matéria condensada; condensed matter; Statistical mechanics
• Online Access: http://www.teses.usp.br/teses/disponiveis/43/43134/tde-17122007-091932/

O modelo gaussiano para um ferromagneto em uma rede hipercúbica d-dimensional é apresentado num contexto estático e dinâmico. Sua termodinâmica é investigada calculando diversas grandezas para a faixa de temperatura na qual o modelo é definido (T < T_c). Expoentes críticos e a dimensão crítica são definidos e calculados para o caso ferromagnético com interações de primeiros vizinhos. Dois tipos de dinâmica são inseridos no modelo gaussiano: a dinâmica de Langevin e a de Cahn-Hilliard. São calculadas a função de auto-correlação e a função resposta, que são os observáveis de interesse num enfoque dinâmico. A maneira como esses observáveis se relacionam também é investigada, via teorema de flutuação-dissipação. De maneira mais geral, um eventual comportamento dinâmico, tipo Langevin, é estudado através do formalismo MSR. Sendo a técnica MSR apropriada ao estudo de sistemas com desordem, calculam-se as funções de auto-correlação e resposta de um modelo gaussiano na presença de um campo aleatório (desordem do tipo \"quenching\"). Finalmente, de maneira independente e como um exercício de mecânica estatística, três modelos são apresentados: um modelo de gás de rede com graus de liberdade orientacionais do tipo Ising, o modelo de Potts de q estados e o modelo de Maier-Saupe para um cristal líquido. É mostrado que esses modelos, de certa maneira, estão próximos. Em uma maneira mais explícita, numa versão de campo médio, mostra-se que a energia livre de um modelo de Potts de três estados e uma versão discretizada para o modelo de Maier-Saupe, com restrições às direções do diretor, possuem a mesma energia livre. === The Gaussian model of a ferromagnet on a d-dimensional hipercubic lattice is presented, in the static and dynamic contexts. The thermodynamics of the Gaussian model is investigated evaluating several thermodynamic quantities, in the temperature range of validity of the model (T < T_c). For a ferromagnetic model with first neighbour interactions, the critical dimension and the critical exponents are found. Two kinds of dynamics are applied on the Gaussian model: the Langevin dynamics and the Cahn-Hilliard dynamics. The auto-correlation and the response functions, which are the interesting observables from the dynamical point of view, are calculated. The relation between these two functions is also analyzed, through the fluctuation-dissipation theorem. In a more general way, the Langevin behavior is studied through the MSR formalism, which is useful for systems with disorder. The MSR formalism is applied to find auto-correlation and response functions of a random-field Gaussian model (quenched disorder). Furthermore, as a statistical mechanics exercise, three models are presented: a lattice gas with Ising-like orientational degrees of freedom, the q-state Potts model, and the Maier-Saupe model for the transitions in a nematic liquid crystal. At the mean field level, we show that these three models are similar. In particular, we show that the free energy of the three-state Potts Model is equal of the free energy of a discretized version of the Maier-Saupe model, with restrictions on the directions of the director.