| Summary: | Nesta tese obtemos, de um ponto de vista matemáticamente rigoroso, a parte inferior do espectro de energia-momento de dois modelos de teorias quânticas de campo com tempo imaginário em redes de dimensão $d+1$ (resultados explícitos para o caso $d = 3$ e matrizes de Dirac) que contém férmions: um modelo puramente fermiônico com interação quártica nos campos fermiônicos de $N$ componentes (modelo de Quatro-Férmions) e um modelo de cromodinâmica quântica. Para o modelo de Quatro-Férmions, $\\kappa$ é o parâmetro de hopping, $M_0$ é a massa bare dos férmions e $\\lambda$ é o parâmetro de interação. Uma expansão de polímeros garante a existência das funções de correlação no limite termodinâmico, na região onde $|\\frac{\\kappa}|$ é pequeno. A análise do espectro é baseada em representações espectrais para funções de correlação de dois e quatro férmions. A análise das funções de correlação adequadas é simplificada pelo uso de simetrias, em particular, de uma {\\em nova} simetria de Reflexão Temporal que aparece no nível das funções de correlação. A determinação do espectro é executada através de um estudo detalhado das taxas de decaimento das funções de correlação. Até próximo ao limiar de três partículas, o espectro de energia e momento exibe curvas de dispersão isoladas que são identificadas com partículas e estados ligados de duas partículas. No subespaço de uma partícula, o espectro consiste em uma curva de dispersão isolada. A massa da partícula é de ordem $-\\ln \\kappa$. O espectro de duas partículas aparece como soluções de uma equação de Bethe-Salpeter, resolvida primeiro em uma aproximação em escada. O espectro de duas partículas contém uma banda de duas partículas livres de largura finita. A existência de estados ligados acima ou abaixo da banda de duas partículas depende do fato do modelo apresentar ou não dominação gaussiana. Um parâmetro $\\aleph$ é dado para medir a dominação gaussiana. Para $\\aleph=0$, nenhum estado ligado ocorre. Para $\\aleph>0$, o estado ligado ocorre abaixo da banda de duas partículas. Para $\\aleph<0$, o estado ligado aparecem acima desta banda. Os resultados obtidos nesta aproximação em escada podem ser estendidos para o modelo completo através de um controle rigoroso das contribuições que diferenciam essas duas situações. Em uma segunda parte, idéias análogas são aplicadas para analisar o espectro do modelo de cromodinâmica quântica. Em particular, nós mostramos a existência dos pentaquarks no regime de acoplamento forte (acoplamento entre as plaquetas $0 <\\beta= \\frac{g^2_0} \\ll \\kappa $). O modelo possui simetria de calibre $SU(3)_c$ e de sabor $SU(2)_f$. Os pentaquark revelados são superposições de estados ligados de mésons e bárions. Apenas estados com um número ímpar de férmions e abaixo do limiar de energia meson-bárion são considerados. O pentaquark é determinado usando uma aproximação em escada para uma equação Bethe-Salpeter. Na ordem dominante em $\\beta$, a massa deste estado é aproximadamente $-5 \\ln\\kappa$ e sua energia de ligação é de ordem $\\textrm(\\kappa^2)$. O estado mais fortemente ligado tem isospin $I=\\frac$. Para $I=\\frac$ não há estados ligados. Estes resultados mostram uma dependência nos spins dos méson e bárion. Esta análise mostra que um potencial de troca de quark-anti-quark de $\\textrm(\\kappa^2)$ é a interação dominante, mas não há uma interpretação de troca de mésons.
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In this thesis, we obtain, from a mathematically rigorous point of view, the low-lying energy-momentum spectrum of two $3+1$ dimensional imaginary time lattice quantum filed theory with fermion fields (we give explicit results for the case $d = 3$ and Dirac matrices): a pure fermionic model with quartic interaction in the $N$-component fermion field and a quantum chromodynamics model. For the Four-Fermion model, $\\kappa$ denotes the hopping parameter, $M_0$ the fermion bare mass and $\\lambda$ the interaction parameter. A polymer expansion show the existence of the model correlation functions in the thermodynamic limit, in the region where $|\\frac{\\kappa}|$ is small enough. The analysis of the spectrum is based on spectral representations of two- and four- point correlation functions. The analysis of such adequate correlation functions is simplified by the help of symmetries, in particular, by a {\\em new} Time Reflection symmetry, which appear in the level of correlation functions. The exact determination of the spectrum is done using a detailed study of the decay rates of the correlations. Up to near the 3 particle threshold, the energy-momentum spectrum exhibits isolated dispersion curves that are identified as particles and bound states. In the one-particle subspace, the spectrum consist in just a isolated dispersion curve. The mass of the associated particle is of order $-\\ln \\kappa$. The two-particle spectrum shows up as solutions of a Bethe-Salpeter equation, which is solved first in a ladder approximation. The two-particle spectrum contains a two free particles band of finite width. The existence of bound states above or below the band depends on wherever the model Gaussian domination holds. A parameter $\\aleph$ is given to measure the Gaussian domination. For $\\aleph=0$, no bound state occurs. For $\\aleph>0$, a bound state appears bellow the two-particles band. For $\\aleph<0$, the bound state appears above this band. The result obtained in this ladder approximation can be extended to the full model by a rigorous control of the contributions that differ these two cases. In a second part, analog ideas are applied to analyze the spectrum of a quantum chromodynamics model. In particular, we show the existence of pentaquarks in the strong coupling regime (plaquette coupling $0 <\\beta= \\frac{g^2_0} \\ll \\kappa $). The model has a $SU(3)_c$ gauge symmetry and a $SU(2)_f$ flavor symmetry. The reveled pentaquarks are superpositions of meson-baryon bound states. Only states with an odd number of fermions and bellow the meson-baryon threshold are considered. The pentaquark are determined using a ladder approximation to the Bethe-Salpeter equation. In the dominant order in $\\beta$, the bound state mass is $\\approx -5 \\ln\\kappa$ and the binding energy is of order $\\textrm(\\kappa^2)$. The most strongly bounded bound state has isospin $I=\\frac$. For $I=\\frac$, there is no bound state. These results shows a dependence in the spins of the meson and baryon. This analysis show that a $\\textrm(\\kappa^2)$ quark-anti-quark exchange potential is the dominant interaction, although there is not a meson exchange interpretation.
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