K-Teoria e aplicações para cálculos pseudodiferenciais globais e seus problemas de fronteira

• Main Author: Pedro Tavares Paes Lopes
• Other Authors: Severino Toscano do Rego Melo
• Language: Portuguese
• Published: Universidade de São Paulo 2012
• Subjects: K-teoria de álgebras C^{*}; Operadores pseudodiferenciais; problemas de fronteira elípticos.; elliptic boundary value problems.; K-Theory of C^{*} algebras; Pseudodifferential operators
• Online Access: http://www.teses.usp.br/teses/disponiveis/45/45131/tde-09112012-113242/

Nesta tese vamos apresentar dois resultados a respeito de K-teoria de álgebras C^{*} de classes de operadores pseudodiferenciais que são globalmente definidos em \\mathbb^. O primeiro resultado é a prova da regularidade da função \\eta para operadores clássicos com símbolos de Shubin. Vamos mostrar que a álgebra de operadores pseudodiferenciais em \\mathbb^ com símbolos de Shubin permite a construção de potências complexas e um tipo de traço de Kontsevich-Vishik numa forma muito similar àquela feita para variedades compactas, com definições até mais simples. Mostraremos, então, que podemos definir as funções \\zeta e \\eta também para esses símbolos. Finalmente mostraremos como o conhecimento de fatos simples sobre a sua K-teoria permitem a prova da regularidade da função \\eta. Para variedades compactas, esse resultado tem muitas implicações. Acreditamos assim que ele também possa ser interessante para os estudos de operadores globais em \\mathbb^. O segundo resultado é o cálculo da K-teoria de operadores limitados gerados por operadores de Boutet de Monvel SG de ordem (0,0) e tipo zero em \\mathbb_{+}^. Boutet de Monvel introduziu a álgebra que leva o seu nome para estudar o índice de operadores elípticos de fronteira em variedades compactas com bordo. Mais recentemente uma nova abordagem foi proposta por Melo, Nest, Schrohe e Schick para obter resultados sobre o índice de Fredholm usando a K-teoria de álgebras C^{*}, uma ferramenta que não era disponível ainda quando Boutet de Monvel desenvolveu sua álgebra. Nossa ideia foi, então, mostrar como calcular a K-teoria de álgebras de Boutet de Monvel com símbolos SG em \\mathbb_{+}^, em que os símbolos SG são uma classe de símbolos globalmente definidos em \\mathbb^. Acreditamos que isso possa ser útil também ao estudo de problemas elípticos de fronteira para operadores de Boutet de Monvel com símbolos SG em certas classes de variedades não compactas. === We are going to present two results concerning K-theory of C^{*} algebras of classes of pseudodifferential operators that are globally defined in \\mathbb^. The first result is the proof of the regularity of the \\eta function for classical operators with Shubin symbols. We are going to show that the algebra of classical pseudodifferential operators in \\mathbb^ with Shubin symbols allows the construction of complex powers and a kind of Kontsevich-Vishik trace in a very similar way as on compact manifolds, with even easier definitions. Then we show that we can define the \\zeta and \\eta functions also for these symbols. Finally we will show how the knowledge of simple facts about the K-theory of pseudodifferential operators with Shubin\'s symbols allows the proof of the regularity of the \\eta function at 0. For compact manifolds, this regularity is a result that has many implications. Therefore it may also be interesting for global operators in \\mathbb^. The second result is the evaluation of the K-theory of bounded operators generated by SG Boutet de Monvel operators of order (0,0) and type 0 in \\mathbb_^. Boutet de Monvel introduced his algebra to study the index of elliptic boundary value problems on compact manifolds. More recently a new approach was proposed by Melo, Nest, Schrohe and Schick to obtain results about the index of Fredholm operators using the K-theory of C^ algebras, a tool which was not well known when Boutet de Monvel published his work. The idea here is to show how one can evaluate the K-theory of the Boutet de Monvel operators with SG symbols in \\mathbb_^, where SG symbols is a class of symbols globally defined in \\mathbb^. We believe that this can be useful to the study of index of Fredholm problems also in the case of Boutet de Monvel operators with SG symbols in some classes of non-compact manifolds.