| Summary: | Nesta tese estudamos o mapa de Bethe-Peierls (B. P.). Esse mapa racional é a transformação do grupo de renormalização do modelo de Potts na rede de Bethe. Ele é parametrizado pela temperatura, pelo campo magnético, pelo número de coordenação Υ e pelo número de estados p do spin de Potts. Foram feitos cálculos para determinar as regiões no espaço de parâmetros onde existe caos. Para Υ par não existe órbita periódica com período maior que dois. Para Υ = 3 vários resultados analíticos são obtidos, pois o mapa é de grau três. Uma transformação recém descoberta nos permite restringir p ao intervalo p ∈ (1,2). Para p = 1 o mapa de B. P. torna-se um mapa polinomial de grau Υ. p = 2 é um ponto fixo da transformação. Novas famílias de vidros de spins de McKay-Berker-Kirkpatrick são encontrados pela determinação do valor crítico pc(Υ) [pc(3) ≅ 1.51]. Abaixo desse valor existe bastante frustração de modo que o mapa exibirá uma fase caótica a baixa temperatura. Mostra-se também que um entendimento completo desse mapa requer a extensão da temperatura a valores complexos. Utilizando um método mais simples desenvolvido por Cristiano e Goulart Rosa foi generalizada a relação de recorrência obtida por Thompson para a magnetização local do modelo de Ising na árvore de Cayley. Seguindo seu procedimento obtivemos o funcional da energia livre do modelo de Potts na aproximação de Bethe-Peierls em termos atratores do mapa de B.P. A partir desse funcional obtivemos as demais grandezas termodinâmicas. Foi mostrada também a importância do sinal do campo superficial na ordem de transição de fase do modelo de Potts e na estabilidade das fases de baixas temperaturas
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In this thesis we study the Bethe-Peierls map. This rational map is the renormalization group transformation of the Potts model on the Bethe lattice. It is parametrized by the temperature, by the magnetic field, by the coordination number Υ and by the number of state p of the Potts spin. Calculations were carried out to determine the regions in the parameters space where there is chaos. For even Υ there is no periodic orbit with period greater than two. For Υ = 3 several analytical results are obtained since the map is of degree three. A newly discovered transformation allows us to restrict p to the interval p ∈ (1,2). For p = 1 the B. P. map becomes a polynomial map of degree Υ. p= 2 is a fixed point of the transformation. New families of Mckay-Berker-Kirkpatrick spin-glasses are found by determining the critical value pc(Υ)[pc(3) ≅ 1.51]. Bellow this value there is enough frustration such that the map will display a chaotic phase at low temperature. We also shown that a complete understanding of this map requires to extend the temperature to complex values. By using a more simple method developed by Christiano e Goulart Rosa it was generalized the recurrence relation obtained by Thompson for the local magnetization of the Ising model on the Cayley tree. Following his procedure we obtained the functional of the free energy in terms of the attractors of the B.P. map. From this functional we obtained the others thermodynamics functions. It was showed also the importance of the boundary field on the phase transition order of the Potts model and on the stability of the phase at low temperatures
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