Famílias Anosov: estabilidade estrutural, variedades invariantes, e entropía para sistemas dinâmicos não-estacionários

• Main Author: Jeovanny de Jesus Muentes Acevedo
• Other Authors: Albert Meads Fisher
• Language: Portuguese
• Published: Universidade de São Paulo 2017
• Subjects: Difeomorfismo de Anosov; Entropia topológica; Família Anosov; Sistemas dinâmicos aleatórios; Sistemas dinâmicos não-autônomos; Sistemas dinâmicos não-estacionários; Topologia forte; Anosov diffeomorphism; Anosov family; Non-autonomous dynamical systems; Non-stationary dynamical systems; Random dynamical systems; Strong topology; Topological entropy
• Online Access: http://www.teses.usp.br/teses/disponiveis/45/45131/tde-06122017-113522/

As famílias Anosov foram introduzidas por P. Arnoux e A. Fisher, motivados por generalizar a noção de difeomorfismo de Anosov. A grosso modo, as famílias Anosov são sequências de difeomorfismos (fi)i&#8712Z definidos em uma sequencia de variedades Riemannianas compactas (Mi)i&#8712Z, em que fi: Mi ->Mi+1 para todo i &#8712 Z, tal que a composição fi+no· · ·ofi, para n >=1, tem comportamento assintoticamente hiperbólico. Esta noção é conhecida como um sistema dinâmico não-estacionário ou um sistema dinâmico não-autônomo. Sejam M a união disjunta de cada Mi, para i &#8712 Z, e Fm(M) o conjunto consistente das famílias de difeomorfismos (fi)i&#8712Z de classe Cm definidos na sequência (Mi)i&#8712Z. O propósito principal deste trabalho é mostrar algumas propriedades das famílias Anosov. Em particular, mostraremos que o conjunto destas famílias é aberto em Fm(M), em que Fm(M) é munido da topologia forte (ou topologia Whitney); a estabilidade estrutural de certa classe de famílias Anosov, considerando conjugações topológicas uniformes; e várias versões para os Teoremas de variedades estáveis e instáveis. Os resultados que serão apresentados aqui generalizam alguns outros resultados obtidos em Sistemas Dinâmicos Aleatórios, os quais serão mencionados ao longo do trabalho. Além do anterior, será introduzida a entropia topológica para elementos em Fm(M) e mostraremos algumas das suas propriedades. Provaremos que esta entropia é contínua em Fm(M) munido da topologia forte. Porém, ela é descontínua em cada elemento de Fm(M) munido da topologia produto. Também apresentaremos um resultado que pode ser uma ferramenta de muita utilidade no estudo da continuidade da entropia topológica de difeomorfismos definidos em variedades compactas. Finalizaremos o trabalho dando uma lista de problemas que surgiram ao longo desta pesquisa e que serão analisados em um trabalho futuro. === Anosov families were introduced by P. Arnoux and A. Fisher, motivated by generalizing the notion of Anosov dieomorphisms. Roughly, Anosov families are sequences of dieomorphisms (fi)i&#8712Z dened on a sequence of compact Riemannian manifolds (Mi)i&#8712Z, where fi: Mi -> Mi+1 for all i &#8712 Z, such that the composition fi+n o · · · o fi, for n >=1, has asymptotically hyperbolic behavior. This notion is known as a non-stationary dynamical system or a non-autonomous dynamical system. Let M be the disjoint union of each Mi, for each i &#8712 Z, and Fm(M) the set consisting of families of Cm-dieomorphisms (fi)i&#8712Z dened on the sequence (Mi)i&#8712Z. The main goal of this work is to explore some properties of Anosov families. In particular, we will show that the set consisting of these families is open in Fm(M), where Fm(M) is endowed with the strong topology (or Whitney topology); the structural stability of a certain class of Anosov families, considering uniform topological conjugacies; and some versions of stable and unstable manifold theorems. The results that will be presented here generalize some results obtained in Random Dynamical Systems, which will be mentioned throughout the work. In addition to the above mentioned theorems, the topological entropy for elements in Fm(M) will be introduced, and we will show some of its properties. We will prove that this entropy is continuous on Fm(M) endowed with strong topology. However, it is discontinuous at each element of Fm(M) endowed with the product topology. We will also present a result that can be a very useful tool in the study of the continuity of the topological entropy of dieomorphisms dened on compact manifolds. We will nish the work by giving a list of problems that have arisen throughout this research and that will be analyzed in a future work.