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Previous issue date: 2016-04-13 === Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) === Mathematical and computational modeling of tumor growth have become valuable tools for learning and understanding various aspects of tumor onset and development. They can also help to generate new hypotheses for experimental testing and to verify the efficiency or optimize clinical therapies. From the computational point of view, a huge challenge is to deal with highly nonlinear and multi-components mathematical models that aim to display multiple types of biological interactions across different biological, temporal and physical scales. Computational and numerical difficulties usually appear. Also, nonlinear interactions may give rise to interesting and unexpected dynamics which make it difficult to anticipate a model's outcome. Here we make a step towards developing a model-building framework to improve the understanding of the model itself and the key issues to drive model modifications and simplifications.
We develop a family of deterministic tumor growth models based on a mathematical model built in the literature, which is a continuous model of seven coupled nonlinear partial differential equations that can capture both avascular and vascular phases of the disease. Although simple, this model provides considerable insight about important mechanisms related to tumor progression, as angiogenesis, for example, which is the fundamental strategy tumors acquire to keep and improve growth. Its main assumptions and mathematical formulation are discussed in details, and we propose some modifications to fix ambiguities in the original model. The extension to multidimensional problems is considered, for which we develop reliable approximate finite element solution.
We propose in this work a simple framework to build a hierarchical family of tumor growth models by selecting a subset of the most important parameters of our base model with respect to the evolution of the tumor volume. The importance of each parameter is identified through two model-free sensitivity analysis techniques, the construction of scatterplots and the elementary effects, due to their simplicity and low computational costs.
This model framework encompasses the essential hypotheses and the limited set of important parameters acquired from the sensitivity analysis. In this way, we are able to create a family of models described by at least the same essential conditions and parameters but with different complexities regarding the number of parameters used. Numerical experiments are conducted to provide a comprehensive understanding of the hierarchical developed family of tumor growth models.
Finally, we emphasize that the modeling framework in this manner provides a powerful way for studying a model itself or either its simplification or extension. The framework can also be tailored to form the basis for future models, incorporating new processes and phenomena. === A modelagem matemática e computacional do crescimento tumoral tornou-se uma ferramenta importante para o aprendizado e entendimento de vários aspectos relacionados ao surgimento e desenvolvimento de tumores. Esta ferramenta é também capaz de ajudar a construir novas hipóteses para testes experimentais, verificar a eficiência e até mesmo otimizar terapias. Do ponto de vista computacional, um grande desafio consiste em resolver e entender modelos matemáticos não-lineares com múltiplos componentes que objetivam representar interações que ocorrem em diferentes escalas biológicas, de tempo e espaço. Dificuldades numéricas e computacionais ocorrem frequentemente. Interações não-lineares dão também origem a dinâmicas interessantes e até mesmo inesperadas, dificultando antecipar os resultados de muitos modelos. Neste trabalho, dá-se um passo na direção do desenvolvimento de uma abordagem para a construção de modelos que permite tornar mais claro o entendimento destes e de seus aspectos-chave, auxiliando modificações e simplificações para tornar o processo de modelagem mais simples.
Desenvolvemos uma família de modelos determinísticos para o crescimento tumoral baseada em um modelo não-linear e contínuo apresentado na literatura que contém sete equações diferenciais parciais acopladas, capaz de capturar as fases avascular e vascular da doença. Embora simples, este modelo proporciona o entendimento dos importantes mecanismos relacionados à progressão de tumores, como a angiogênese, por exemplo, que é a estratégia utilizada por um tumor para manter e impulsionar seu crescimento. As principais hipóteses e formulação matemática deste modelo-base são discutidas em detalhes, e algumas modificações são propostas para corrigir ambiguidades presentes no modelo original. A extensão para problemas multidimensionais é considerada, para a qual desenvolvemos uma solução robusta de elementos finitos.
Neste trabalho, propomos uma abordagem simples para a construção de uma família hierárquica de modelos de crescimento tumoral através da seleção do conjunto de parâmetros mais importantes de um modelo-base com respeito à evolução do volume tumoral. A importância de cada parâmetro é identificada através de duas técnicas de análise de sensibilidade consideradas simples, de baixo custo computacional e independentes do modelo utilizado: a construção de scatterplots e efeitos elementares.
A abordagem de modelagem inclui as hipóteses essenciais e um conjunto limitado de parâmetros identificados como importantes na análise de sensibilidade. Deste modo, é possível criar uma família de modelos descrita no mínimo pelas mesmas condições essenciais e parâmetros importantes, mas com diferentes complexidades com relação ao número de parâmetros utilizados na modelagem. Experimentos numéricos são realizados para promover o entendimento sobre a família hierárquica de modelos desenvolvida.
Finalmente, enfatizamos que a abordagem de modelagem desenvolvida desta maneira proporciona um potencial mecanismo para estudar um modelo e suas simplificações e extensões. Esta abordagem pode ser ajustada para formar a base para modelos futuros, incorporando novos processos e fenômenos.
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