| Summary: | Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior === The focal surface of a curve γ in the Euclidean 3-space is defined as the envelope of the normal
planes of γ. The focal surface of γ is singular along a curve Cγ, called the focal curve or generalized
evolute. This curve is given by the centers of the osculating spheres of γ. In this work we study the
geometry of the focal surface, focusing on the properties of the focal curve. These concepts can be
generalized for curves in Rm+1. The focal curve may be parametrized in terms of the Frenet frame of
γ. Through this parametrization, we obtain coefficients called focal curvatures. It is then obtained a
formula relating the Euclidean curvatures of γ with its focal curvatures. Defining a vertex of a curve in
Rm+1 as a point at which the curve has at least (m+3)-point contact with its osculating hypersphere,
we give necessary and sufficient conditions for a point of γ to be a vertex. In such points the focal
surface is locally diffeomorphic to the swallowtail surface. === A superfície focal de uma curva γ no espaço euclidiano tridimensional é definida como o
envelope dos planos normais a γ. A superfície focal de γ é singular ao longo de uma curva Cγ,
chamada curva focal ou evoluta generalizada. Esta curva é dada pelos centros das esferas osculatrizes
de γ. Neste trabalho estudamos a geometria da superfície focal, dando ênfase nas propriedades da
curva focal. Estes conceitos podem ser generalizados para curvas em Rm+1. A curva focal pode ser
parametrizada em termos do referencial de Frenet da curva γ. Através desta parametrização, obtemos
coeficientes chamados curvaturas focais. Obtemos então uma expressão relacionando as curvaturas
euclidianas de γ com suas curvaturas focais. Definindo vértice de uma curva em Rm+1 como um ponto
em que a curva tem contato de ordem pelo menos m+3 com sua hiperesfera osculatriz, são dadas
condições necessárias e suficientes para um ponto de γ ser um vértice. Em tais pontos a superfície
focal é localmente difeomorfa à superfície rabo de andorinha.
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