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Previous issue date: 2016-12-20 === Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) === In this thesis, we present a priori estimates for solutions of a mean-field game (MFG) defined
over a bounded domain Ω ⊂ ℝd. We propose an application of these results to a model of capital
and wealth accumulation.
In Chapter 1, an introduction to mean-field games is presented. We also put forward some of
the motivation from Economics and discuss previous developments in the theory of differential
games. These comments aim at indicating the connection between mean-field games theory, its
applications and the realm of Mathematical Analysis.
In Chapter 2, we present an optimal control problem. Here, the agents are supposed to be
undistinguishable, rational and intelligent. Undistinguishable means that every agent is governed
by the same stochastic differential equation. Rational means that all efforts of the agent is to
maximize a payoff functional. Intelligent means that they are able to solve an optimal control
problem. Once we describe this (stochastic) optimal control problem, we produce a heuristic
derivation of the mean-field games system, which is summarized in a Verification Theorem; this
gives rise to the Hamilton-Jacobi equation (HJ). After that, we obtain the Fokker-Plank equation
(FP). Finally, we present a representation formula for the solutions to the (HJ) equation, together
with some regularity results.
In Chapter 3, a specific optimal control problem is described and the associated MFG is
presented. This MFG is prescribed in a bounded domain
Ω ⊂ ℝd, which introduces substantialadditional challenges from the mathematical view point. This is due to estimates for the solutionsat the boundary in Lp. The rest of the chapter puts forward two well known tips of estimates: theso-called Hopf-Lax formula and the First Order Estimate.
In Chapter 4, the wealth and capital accumulation mean-field game model is presented. The
relevance of studying MFG in a bounded domain then becomes clear. In light of the results obtained
in Chapter 3, we close Chapter 4 with the Hopf-Lax formula, and the First Order estimates.
Three appendices close this thesis. They gather elementary material on Stochastic Calculus
and Functional Analysis. === Nesta dissertação são apresentadas algumas estimativas a priori para soluções de sistemas
mean-field games (MFG), definidos em domínios limitados Ω ⊂ ℝd. Tais estimativas são aplicadas
em um modelo mean-field específico, que descreve o acúmulo de riqueza e capital.
No Capítulo 1, é apresentada uma breve introdução histórica sobre os mean-field games.
Nesta introdução, exploramos sua relação com a teoria dos jogos, cujos alicerces foram construídos
por economistas e matemáticos ao longo do século XX. O objetivo do capítulo é transmitir.
No Capítulo 2, apresentamos um problema de controle ótimo em que cada agente é suposto
ser indistinguível, racional e inteligente. Indistinguível no sentido de que cada um é governado
pela mesma equação diferencial estocástica. Racional no sentido de que todos os esforços do
agente são no sentido de maximizar um funcional de recompensa e, inteligente no sentido de que
são capazes de resolver um problema de controle ótimo. Descreve-se este problema de controle
ótimo, e apresenta-se a derivação heurística dos mean-field games; obtém-se através de um
Teorema de Verificação, a equação de Hamilton-Jacobi (HJ) associada, e em seguida, obtémse
a equação de Fokker-Planck. De posse destas equações, apresentamos alguns resultados
preliminares, como uma fórmula de representação para soluções da equação de HJ e alguns
resultados de regularidade.
No Capítulo 3, descreve-se um problema específico de controle ótimo e apresenta-se a respectiva
derivação heurística culminando na descrição de um MFG com condições não periódicas
na fronteira; esta abordagem é original na literatura de MFG. O restante do capítulo é
dedicado à exposição de dois tipos bem conhecidos de estimativas: a fórmula de Hopf-Lax e
estimativa de Primeira Ordem. Uma observação relevante, é a de que o trabalho em obter-se
estimativas a priori é aumentado substancialmente neste caso, devido ao fato de lidarmos com
estimativas para os termos de fronteira com normas em Lp.
ao leitor, as origens da Teoria Econômica contemporânea, que surgem à partir da utilização da
Matemática na formulação e resolução de problemas econômicos. Tal abordagem é motivada
principalmente pelo rigor e clareza da Matemática em tais circunstâncias.
No Capítulo 4, apresenta-se o modelo de jogo do tipo mean-field de acúmulo de capital e
riqueza, o que deixa claro a relevância do estudo dos MFG em um domínio limitado. À luz dos
resultados obtidos no Capítulo 3, encerramos o Capítulo 4 com as estimativas do tipo Hopf-Lax
e de Primeira Ordem.
Três apêndices encerram o texto desta dissertação de mestrado; estes reúnem material elementar
sobre Cálculo Estocástico e Análise Funcional.
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