Matrizes explícitas em elementos finitos de alta ordem aplicadas a problemas de elasticidade 2D e 3D

• Main Author: BARROS, Wesley Michel de
• Other Authors: http://lattes.cnpq.br/0171120821110850
• Language: Portuguese
• Published: Universidade Federal de Pernambuco 2017
• Subjects: Engenharia Civil; Elementos finitos; Matrizes explicitas; Elasticidade; Alta ordem; Estatística
• Online Access: https://repositorio.ufpe.br/handle/123456789/22405

Submitted by Fabio Sobreira Campos da Costa ([e-mail]) on 2017-11-28T13:57:48Z No. of bitstreams: 2 license_rdf: 811 bytes, checksum: e39d27027a6cc9cb039ad269a5db8e34 (MD5) Dissertação Wesley.pdf: 5879894 bytes, checksum: c3dc2095f2e7f0de1dc4a882f5448b5f (MD5) === Made available in DSpace on 2017-11-28T13:57:48Z (GMT). No. of bitstreams: 2 license_rdf: 811 bytes, checksum: e39d27027a6cc9cb039ad269a5db8e34 (MD5) Dissertação Wesley.pdf: 5879894 bytes, checksum: c3dc2095f2e7f0de1dc4a882f5448b5f (MD5) Previous issue date: 2016-12-02 === Neste trabalho é apresentada a formulação explícita para elementos triangulares e tetraédricos de ordem superior aplicados à solução de problemas envolvendo elasticidade 2D e 3D com o Método dos Elementos Finitos. A precisão dos resultados de análises utilizando o MEF está diretamente ligada a malha e exatidão do elementos. As técnicas de refino mais usuais são as versões adaptativas h, p, hp e r, em que a versão h mantém constante a ordem das funções de forma e eleva o número de elementos de forma a minimizar o erro. Por sua vez, a versão p mantém constante o número de elementos e eleva a ordem do polinômio das funções de interpolação para uma melhor aproximação da solução. A versão hp é uma combinação das duas versões anteriores e a versão r é obtida por meio da modificação da posição dos nós mantendo a topologia da malha. Os elementos triangular e tetraédrico foram adotados para o presente estudo, pois possuem a vantagem de adequar-se às mais diversas formas geométricas. Para formulação dos elementos de ordem superior, a ordem dos polinômios de Lagrange é incrementada para construção dos elementos triangulares T6(6 nós), T10(10 nós), T15(15nós) e T21(21 nós) e elementos tetraédricos TE10(10 nós), TE20(20 nós) e TE35(35 nós). A grande vantagem dos elementos de ordem superior é a maior precisão dos resultados a medida que a ordem do polinômio aumenta. Portanto, são necessários menos elementos que a versão h-Adaptativa para solução do problema, reduzindo, assim, a necessidade de discretização adicional do domínio. As aplicações utilizando elementos finitos de ordem superior apresentam elevado custo computacional, visto que as matrizes dos elementos são obtidas por meio de um grande número de pontos de integração elevando assim o tempo de processamento. De modo a solucionar esse problema foram desenvolvidas matrizes de rigidez explícitas, eliminando as integrações numéricas e maximizando a eficiência do processamento computacional. Aplicações práticas em um código computacional para análise estática e modal de estruturas foram desenvolvidas com auxílio do software MATLAB, onde o usuário informa uma malha inicial com elementos triangulares de três nós (T3) ou tetraédricos de quatro nós (TE4) e define a ordem do elemento a ser aplicado. Por sua vez, o programa se encarrega de gerar os novos nós e conectividades de acordo com o grau do polinômio escolhido. Em seguida, o usuário define as propriedades físicas, condições de contorno e cargas aplicadas, para posterior cálculo dos deslocamentos, tensões, frequências e modos de vibração. Exemplos de validação são apresentados e confirmam a eficiência em desempenho computacional das rotinas propostas. Nos resultados foi verificado que, para boa parte dos elementos, a estratégia utilizando matrizes explícitas mostrou-se mais eficiente que a integração numérica, com uma considerável redução no tempo de processamento. === This work presents the development of explicit finite element matrices for higher order triangular and tetrahedral elements applied to solution of 2D and 3D elasticity problems. The accuracy of analysis results using the Finite Element Method (FEM) depends on mesh refinement and element quality. The most usual refinement techniques are the adaptive versions h, p, hp and r, in which the h version keeps the order of interpolation functions constant and raises the number of elements to minimize the error. Alternatively, the p version maintains the number of elements constant and raises the order of the polynomial in the interpolation functions for a better approximation of the solution. The hp version is a combination of the two previous approaches and the r version is obtained by modifying node position while maintaining the mesh topology. Triangular and tetrahedral elements were adopted for the present study, since they have the advantage of adapting to the most diverse geometric forms. Lagrange polynomial order is incremented to construct triangular elements T6 (6 nodes), T10 (10 nodes), T15 (15 nodes) and T21 (21 nodes), and tetrahedral elements TE10 (10 nodes), TE20 (20 nodes) and TE35 (35 nodes). Higher order elements provide greater accuracy as the order of the polynomial increases. Therefore, fewer elements are required to solve the problem when compared to the h version, thus reducing the need for additional mesh refinement. Applications using higher order finite elements often require great computational cost, since element matrices are obtained with a large set of numerical integration points, thus increasing the processing time. To solve this problem explicit stiffness matrices have been developed, avoiding numerical integrations and maximizing computational efficiency. Practical applications in a computational code for static and modal analysis of structures were developed using MATLAB software, with the user defining an initial mesh with triangular elements of three nodes (T3) or tetrahedral element of four nodes (TE4), and further establishing the polynomial order to be applied. The computer code is responsible for generating additional nodes and connectivities according to the chosen degree of the interpolation function. Next, the user defines the physical properties, boundary conditions and applied loads, for later calculation of the displacements, stresses, frequencies and vibration modes. Test cases are presented for validation of the proposed routines. Major conclusions reveal that for a broad set of elements the strategy using explicit finite element matrices was more efficient than the classical numerical integration procedure, with a considerable reduction in processing time.