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Previous issue date: 2016-04-19 === CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior === In this work, the list coloring problem and choosability property in graphs are investigated.
List coloring is a generalization of the vertex coloring problem in graph, and as this
classic problem is to color a simple graph so that adjacent vertices have different colors,
but respecting the additional constraint thaht each vertex has a list of porrible colors to be
used. This problem has some variations as the (g;μ)-coloring, which involves sequential
lists with lower and upper bounds known. The k-choosability is to determine the smallest
size list k for which there is always a valid list coloring, whatever the distribution of
the list in the graph. Thus, we investigated the correlation between k-choosability and
(g;μ)-coloring, porposing the k-(g;μ)-choosability property. With this, we also analysed
some proof tecnhiques in choosability, applied to determine k-(g;μ)-choosability for specific
graphs are 3-(g;μ)-choosable and the technique of Marshal Hall, applied to prove
that complete bipartite graphs are 2-(g;μ)-choosable. The most general result, obtaines
throught a relatively simple formal proof, consisted to determine if a graph is k-colorable,
then this graph is algo k-(g;μ)-choosable, leaving to be Pp
2-complete for NP-complete.
Additionally, it was studied and implemented some algorithms to determine the list coloration
and k-choosability for simple general graphs. === Nesta dissertação, o problema da lista coloração e a propriedade da selecionabilidade
em grafos são abordados. Lista coloração é uma generalização do problema da coloração
de vértices em grafos, e tal como este problema clássico, consiste em colorir um grafo
simples de modo que vértices adjacentes possuam cores distintas, mas, respeitando- se a
restrição adicional de que cada vértice possui uma lista restrita de possíveis cores a serem
usadas. Tal problema possui algumas variações, como a (g;μ)-coloração, que envolve listas
sequenciais com limite inferior e superior conhecidos. A k-selecionabilidade consiste
em determinar o menor tamanho de lista k para o qual sempre há uma lista coloração,
seja qual for a distribuição de lista no grafo. Nesta dissertação, se investigou a correlação
entre a propriedade da k-selecionabilidade e a (g;μ)-coloração, sendo definida a propriedade
de k-(g;μ)-selecionabilidade. Com isto, foram também estudadas algumas técnicas
de prova em selecionabilidade, aplicadas para se determinar a k-(g;μ)-selecionabilidade
para classes específicas de grafos, como a técnica de degeneração em grafos, usada para
provar que grafos periplanares são 3-(g;μ)-selecionáveis e a técnica de Marshal Hall,
usada para provar que grafos bipartidos completos são 2-(g;μ)-selecionáveis. O resultado
mais geral, obtido através de uma prova formal, consistiu em determinar que se um grafo é
k-colorível, então tal grafo também é k-(g;μ)-selecionável, deixando de ser Pp
2-completo
para ser NP-completo. Adicionalmente, foram estudados e implementados alguns algoritmos
para determinar a lista coloração e k-selecionabilidade em grafos simples gerais
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