| Summary: | === There is some consensus around the idea that mathematics teachers must know the subject they teach in a deeper way. However, just knowing more advanced mathematics, not connected to other dimensions of teachers professional knowledge, has been seen as insufficient and even innocuous in terms of adequate teacher preparation to work in a setting as complex as a mathematics school classroom. Thus, the discussion about What mathematics is needed to prepare mathematics school teachers? has been of great interest for researchers and teachers who work in teacher preparation programs. Shulman introduced the notion of pedagogical content knowledge to designate a particular type of professional teaching knowledge, that special amalgam of content and pedagogy that is uniquely the province of teachers, their own special form of professional understanding. Drawing on Shulmans idea of Pedagogical Content Knowledge, researchers at the University of Michigan, led by Deborah Ball, developed the concept of Mathematical Knowledge for Teaching, which is a special kind of professional mathematical knowledge needed to carry out the work of teaching mathematics, as Ball herself puts it. In this research we sought to identify elements of mathematical knowledge for teaching related to actual algebras work in school. The observations took place in 8th and 9th grade classrooms, with two different teachers, at a public school in Brazil, from April to August 2012. We focused on specific mathematics knowledge which were effectively mobilized or might have been mobilized by those teachers in their algebras classroom. Along the process of data collection, we were able to notice that several important issues raised in current algebras teaching and learning research literature actually came about in the observed classrooms setting. This shows the convenience and the relevance of analyzing them in terms of specific mathematical knowledge for teaching. In our analysis, two issues stood out, acquiring a prominent position: the justification of results obtained in the generalization process in school algebra classrooms and the process-object duality in the construction of abstract concepts, in particular those associated to algebraic expressions. We were able to highlight tensions between validation processes used according to the structure of mathematics, as conceived by professional mathematicians, and those appropriate to the process of concept acquisition in school mathematics classrooms. The process-object duality has been unfolded and our analysis illuminates the tension between the structural and procedural ways teachers and students signify algebraic expressions. This study identifies important and fundamental mathematical knowledge for teaching which are not mentioned in the recommendations for mathematics teacher preparation programs in Brazil. === Há certo consenso em torno da ideia de que professores de matemática da Educação Básica deveriam possuir um conhecimento mais aprofundado do conteúdo a ser ensinado. No entanto, o aprofundamento da formação em matemática por si só, isto é, destituído do objetivo de estabelecer interações e conexões, também profundas, com outros componentes de saber da profissão docente, tem sido visto como insuficiente e até mesmo inócuo, em termos de uma preparação adequada do professor para atuar em um espaço tão complexo como a sala de aula de matemática da Escola Básica. Assim, a discussão do tema Qual matemática para formar o professor de matemática? tem despertado o interesse de pesquisadores e formadores de professores de matemática. Shulman introduziu na literatura o termo conhecimento pedagógico do conteúdo para designar um tipo especial de saber profissional docente: um amálgama entre conhecimentos pedagógicos e conhecimentos disciplinares que constituiria uma forma específica de o professor conhecer sua disciplina. Pesquisadores da Universidade de Michigan, liderados por Deborah Ball, a partir da noção de conhecimento pedagógico do conteúdo, proposta por Shulman, desenvolveram o conceito de conhecimento matemático para o ensino, que é um conhecimento matemático específico do professor de matemática da escola básica, com uma composição e características próprias, em geral distintas do conhecimento matemático utilizado no exercício de outras profissões. O objetivo desta pesquisa é identificar elementos constituintes desse conhecimento matemático específico do professor, no que se refere particularmente ao trabalho com a álgebra na Educação Básica. Observamos as aulas de dois professores de uma escola pública da rede federal de ensino em Belo Horizonte, de abril a agosto de 2012, período em que a álgebra foi o principal assunto abordado. A partir da observação das aulas, procurou-se identificar elementos de saber, específicos do professor de matemática, que foram efetivamente mobilizados ou que seriam potencialmente mobilizáveis na prática concreta de sala de aula de álgebra. Diversas questões relevantes apontadas nas pesquisas sobre ensino e aprendizagem de álgebra se fizeram notar durante o processo de observação e coleta de dados, tendo ficado claras a necessidade e a conveniência de analisá-las do ponto de vista do conhecimento matemático específico do professor. Duas questões se sobressaíram, adquirindo posição de destaque em nossa análise: a utilização da argumentação e da demonstração para justificar a extensão de resultados obtidos nos processos de generalização na álgebra e a dualidade processo-objeto presente na construção de noções abstratas, em particular, daquelas associadas às expressões algébricas. Foi possível explicitar tensões entre os processos de validação aceitos no desenvolvimento formal dedutivo, característico da matemática acadêmica, e aqueles adequados ao desenvolvimento lógico dos conteúdos escolares, de acordo com o contexto da sala de aula da Educação Básica. A dualidade processo-objeto se manifestou na tensão identificada entre a concepção estrutural do professor e a concepção procedimental dos alunos na compreensão das expressões algébricas. O estudo realizado identifica saberes importantes e fundamentais que compõem o conhecimento matemático específico do professor da Educação Básica e que não são mencionados nas recomendações para a formação de professores de matemática no Brasil.
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