Algoritmos eficientes em métodos sem malha

• Main Author: Alexandre Ramos Fonseca
• Other Authors: Renato Cardoso Mesquita
• Format: Others
• Language: Portuguese
• Published: Universidade Federal de Minas Gerais 2011
• Online Access: http://hdl.handle.net/1843/BUOS-8MCFRJ

=== Unlike mesh based methods, meshfree methods are distinguished by the use of a set of scattered nodes over the domain instead of a mesh or grid. In this work the use of MLPG (Meshless Local Petrov Galerkin method) to solve electromagnetic problems is discussed. The main objective is to improve the methods computational efficiency in order to make it competitive with traditional methods like the finite element method. Due to the absence of a mesh there is no connectivity among nodes and it is a challenge for the method to determine efficiently which nodes belong to the neighborhood of a particular node. To solve this problem a kd-tree is used. Another issue of meshfree methods is how to impose Dirichlet boundary conditions when the shape functions do not possess the Kronecker delta property, which is the case for shapefunctions constructed from the moving least-squares method (MLS). The MLS is an efficient method, well known in the literature and one of the most used in meshless methods but requires special techniques to impose the Dirichlet boundary conditions, such as the method of penalties or Lagrange multipliers. In addition to the MLS, we investigate shape functions based on the point interpolation method (PIM) using radial basis functions (RPIM) with polynomial terms (RPIMp). The RPIMp has the property of Kronecker delta, which makes it an alternative to the MLS dispensing special techniques for imposing boundary conditions. However, RPIMp presents a higher computational cost than the MLS when a large number of nodes is used. In this paper we propose a mixed method that combines RPIMp to border nodes and the MLS into the domain. Thus, we generate a method that combines the best attributes of two functions: a direct imposition of boundary conditions and fast processing. Results show that the mixed method has good accuracy and intermediate computational cost between the shape functions used.To make the mixed method even more attractive, we investigated a simpler shape function to use inside the domain. Shepard functions (particular case of MLS with C0 consistency) are extremely simple functions, easy to implement and have low computational cost. In this case, even constructing the shape functions with few neighboring nodes, the mixed method always present lower computational cost when compared to using only RPIMp functions. During MLPG implementations we realize that the nodes contributions for the global matrix system are independent. Each node contributes with a line on the matrix system, not interfering with the contribution of the other nodes. Taking advantage of multi-core processors, now easy to find in the market, we propose a way to parallelize the linear system assembling process which is the stage of the method with higher computational cost. Results indicate a performance gain up to 3.78 times in this part of the processing for 4-cores processors === Diferentemente dos métodos baseados em malhas, os métodos sem malha são caracterizados pelo uso de um conjunto de nós espalhados pelo dominio do problema, ao invés de uma malha ou grade. Neste trabalho é discutido o MLPG (Meshless Local Petrov Galerkin method) para a resolução de problemas eletromagnéticos. O objetivo aqui é além de entender o método, buscar formas de aumentar sua eficiência a fim de torná-lo competitivo com métodos tradicionais como o método de elementos finitos. Como não existe uma malha para dar conectividade aos nós, um desafio para o método é determinar com eficiência quais nós pertencem à vizinhança de um determinado nó. Para resolver esse problema é usada uma árvore de busca denominada kd-tree.Outra dificuldade dos métodos sem malha está na imposição das condições de contorno de Dirichlet quando as funções de forma não apresentam a propriedade do delta de Kronecker, o que é o caso para funções de forma construídas a partir do método de mínimos quadrados móveis (MLS). O MLS é um método eficiente, bastante conhecido na literatura e um dos mais utilizados em métodos sem malha, mas necessita de técnicas especiais para impor as condições de contorno de Dirichlet, como o método de penalidades ou multiplicadores de Lagrange. Além do MLS, investigamos funções de forma baseadas no método de interpolação de pontos (PIM) utilizando funções de base radial (RPIM) e associadas com termos polinomiais (RPIMp). O RPIMp possui a propriedade do delta de Kronecker, sendo uma alternativa ao MLS, dispensando técnicas especiais para impor as condições de contorno. Entretanto, o RPIMp apresenta um custo computacional maior que o MLS quando um número maior de nós é utilizado. Neste trabalho propomos um método misto que combina o RPIMp para nós da fronteira e o MLS para o interior do dominio. Dessa forma, geramos um método que associa os melhores atributos das duas funções de forma: a imposição direta das condições de contorno e rápido processamento. Resultados obtidos mostram que o método misto possui boa precisão e custo computacional intermediário aos das funções de forma utilizadas. Para tornar o método misto ainda mais atrativo, estudamos uma função de forma mais simples para o interior do dominio. As funções de Shepard (caso particular do MLS com consistência C0) são funções de forma extremamente simples, de fácil implementação e custo computacional muito baixo. Nesse caso, mesmo construindo as funções de forma com poucos nós vizinhos, o método misto sempre possui custo computacional inferior quando se compara a utilização de apenas funções RPIMp. Durante as implementações do MLPG percebeu-se que as contribuições dos nós para o sistema matricial global são independentes. Cada nó contribui com uma linha do sistema, não interferindo na contribuição dos demais nós. Aproveitando a chegada ao mercado de processadores com múltiplos núcleos e aproveitando essa característica do método, é proposta uma forma de paralelizar o processo de montagem do sistema linear que é a fase do método de maior custo computacional. Resultados indicam um ganho de desempenho nessa parte do processamento de até 3, 78 vezes para processadores com quatro núcleos.