Percolação de longo alcance em grafos hierárquicos

• Main Author: Marcela Marques dos Reis
• Other Authors: Roger William Camara Silva
• Format: Others
• Language: Portuguese
• Published: Universidade Federal de Minas Gerais 2015
• Online Access: http://hdl.handle.net/1843/BUBD-9VDKFT

=== In this dissertation the percolation model of the article Long-range percolation on the hierarchical lattice [18] by Koval, Meester and Trapman will be presented in detail. In the long-range percolation model, any two vertices may be connected by an edge with probability 1 exp{k}, where and are parameters of the model and k is the distance between the vertices. This distance will depend on an integer parameter N 2 which defines the hierarchy on the model. Given a configuration W of edges that are open or not on the lattice, it is possible to study the open cluster of the origin C(0; w), i.e., the set of vertices that are connected to the origin by an open path. The probability that the open cluster of the origin is infinite is denoted by (,). The main results of the paper [18] and detailed explanations of proofs of theorems are in Chapters 2 to 6. Among them are the phase transition of the model, the uniqueness of the infinite cluster and continuity of functions (,) and c() := inf{; (,) > 0}. === Nessa dissertação será apresentado de forma minuciosa o modelo de percolação estudado no artigo Long-range percolation on the hierarchical lattice [18] dos autores Koval, Meester e Trapman. No modelo de percolação de longo alcance em grafos hierárquicos, quaisquer dois vértices podem estar conectados por um elo com probabilidade 1 exp{ k}, em que e são parâmetros do modelo e k é a distância entre os vértices. Essa distância depende de um parâmetro inteiro N 2 que define a hierarquia no grafo. Dada uma configuração w de elos que estão abertos ou não no grafo, é possível estudar o aglomerado aberto da origem C(0; w), isto é, o conjunto de vértices que estão conectados a origem por um caminho de elos abertos. A probabilidade do aglomerado aberto da origem ter tamanho infinito é denotada por (,). Os principais resultados encontrados pelos autores e as explicações detalhadas das provas dos teoremas se encontram nos Capítulos de 2 a 6. Dentre eles estão a transição de fase do modelo, a unicidade do aglomerado aberto infinito e a continuidade das funções (,) e c() := inf{; (,) > 0}.