DYNAMICS OF SLENDER ONE-DIMENSIONAL STRUCTURES USING COSSERAT CONTINUUM

• Main Author: FREDY JONEL CORAL ALAMO
• Other Authors: HANS INGO WEBER
• Language: Portuguese
• Published: PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO DE JANEIRO 2006
• Online Access: http://www.maxwell.vrac.puc-rio.br/Busca_etds.php?strSecao=resultado&nrSeq=9631@1; http://www.maxwell.vrac.puc-rio.br/Busca_etds.php?strSecao=resultado&nrSeq=9631@2

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO DE JANEIRO === COORDENAÇÃO DE APERFEIÇOAMENTO DO PESSOAL DE ENSINO SUPERIOR === CONSELHO NACIONAL DE DESENVOLVIMENTO CIENTÍFICO E TECNOLÓGICO === FUNDAÇÃO DE APOIO À PESQUISA DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO === Neste trabalho é formulado e analisado o equilíbrio estático e a dinâmica de uma viga elástica tridimensional. A teoria tridimensional empregada, que pode ser chamada de teoria de Cosserat para vigas, é exata geometricamente, ou seja, não está baseada em aproximações geométricas ou suposições mecânicas. Para a deformação da viga, assume-se a hipótese de Bernoulli e por simplicidade consideram-se relações constitutivas lineares para o material. A configuração deformada da viga é descrita através do vetor de deslocamento da curva de centróides, e uma base móvel, rigidamente unido à secção transversal da viga. A orientação da base móvel, relativo a um sistema inercial, é parametrizada usando três rotações elementares consecutivas. Na teoria de Cosserat para vigas, as equações do movimento são equações diferenciais parciais não-lineares em função do tempo e uma variável espacial. No entanto, para o equilíbrio estático, as equações tornam- se equações diferenciais ordinárias não-lineares com uma variável espacial que são resolvidas usando o método de perturbação. Da solução do equilíbrio estático, obtêm-se as funções de deslocamento da viga, em função dos deslocamentos e rotações nodais, as quais são usadas para a análise dinâmica. Para obter a dinâmica da viga usa-se a equação de Lagrange, que é formada pelas expressões da energia cinética e da energia potencial de deformação. Além disso, usa-se o método de Newmark para resolver as equações do movimento. Como aplicação, estuda-se numérica e experimentalmente, a dinâmica de uma viga rotativa curva contida numa cavidade uniforme. Quando se usa a teoria de Cosserat para vigas, que leva em conta as não linearidades geométricas, a alta precisão da resposta dinâmica é obtida dividindo o sistema em poucos elementos, as quais são bem menores que o tradicional MEF, essa é a principal vantagem da teoria desenvolvida. === In this work, it is formulated and analyzed the static equilibrium and the dynamics for three dimensional deformation of elastic rods. The intrinsically one-dimensional theory that is employed, which may be called the special Cosserat theory of rods, is geometrically exact, namely, it is not based upon geometrical approximations or mechanical assumptions. For the rod deformation, it is adopted the Bernoulli hypotheses and for simplicity, the linear constitutive relations are employed. The deformed configuration of the rod is described by the displacement vector of the deformed centroid curve and an orthonormal moving frame, rigidly attached to the cross-section of the rod. The orientation of the moving frame, relative to the inertial one, is related by the rotation matrix, parameterized by three elemental rotations. In the sense of Cosserat theory, the equations of motion are nonlinear partial dfferential equations, which are functions of time and one space variable. For the static equilibrium, however, the equations become nonlinear ordinary differential equations with one space variable, which can be solved approximately using standard techniques like the perturbation method. After the static equilibrium equation are solved, the displacement functions are obtained. These nonlinear displacement functions, which are functions of generic nodal displacements and rotations, are used for dynamical analysis. To obtain the dynamics of the Cosserat rod, it is used the Lagrangian approach, formed from the kinetic and strain energy expressions. Furthermore, the equations of motion, which are nonlinear ordinary dfferential equations, are solved numerically using the Newmark method. As an application, a curved rod, constrained to rotate inside a hole, is investigated numerically and experimentally. When using the Cosserat rod approach, that take into account all the geometric nonlinearities in the rod, the higher accuracy of the dynamic responses is achieved by dividing the system into a few elements, which is much less than in the traditional FEM