REGIDITY OF SURFACES WHOSE GEODESIC FLOWS PRESERVE FOLIATIONS OF CODIMENSION 1

• Main Author: JOSE BARBOSA GOMES
• Other Authors: RAFAEL OSWALDO RUGGIERO RODRIGUEZ
• Language: Portuguese
• Published: PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO DE JANEIRO 2004
• Online Access: http://www.maxwell.vrac.puc-rio.br/Busca_etds.php?strSecao=resultado&nrSeq=4630@1; http://www.maxwell.vrac.puc-rio.br/Busca_etds.php?strSecao=resultado&nrSeq=4630@2

UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA === COORDENAÇÃO DE APERFEIÇOAMENTO DO PESSOAL DE ENSINO SUPERIOR === Seja S uma superfície fechada orientável, de gênero > 2 e sem pontos conjugados. Seja F uma folheação no fibrado tangente unitário de S, de codimensão 1, invariante pelo fluxo geodésico e de classe C2. Então, a curvatura de S é constante < 0. A demonstração é conseqüência dos dois seguintes resultados, que têm interesse por si mesmos. O primeiro é que se T1S admite uma folheação contínua de codimensão 1 por folhas C1 invariantes pelo fluxo geodésico então a superfície não tem pontos conjugados e a folheação coincide com a folheação centro-estável ou com a centro-instável. O segundo resultado é o seguinte. Seja S uma superfície fechada orientável, de gênero > 2 e sem pontos conjugados. Então, a folheação centro-estável Fcs de T1S é conjugada à folheação centro-estável da métrica hiperbólica em S. Esta conjugação é da mesma classe de diferenciabilidade de Fcs . Portanto, se Fcs é de classe C2, uma extensão da teoria de Godbillon-Vey implica que a curvatura da superfície é constante negativa. === Lets be a orientable closed surface with no conjugate points. Let F be a foliation in the unitary tangent fiber bundle of S, of codimension 1, invariant by the geodesic flow and of class C2. Then, the curvature of S is constant < 0 . The demonstration is a consequence of the two following results, which are of interest by themselves. The first one is that if T1S admits a continuous foliation of codimension 1 by leaves C1 invariants by the geodesic flow, then the surface is with no conjugate points, and the foliation coincides with either the center stable foliation or the center unstable foliation. The second result is the following. Let S be a orientable closed surface of genus > 2 and with no conjugate points. Then, the center unstable foliation Fcs of T1S is conjugate to the center stable foliation of the hyperbolic metric in S. This conjugation is of the same class of differentiability of Fcs. Therefore, if Fcs is of class C2, an extension of the Godbillon-Vey theory implies that the curvature of the surface is constant negative.