INVARIANT SUBSPACES FOR HIPONORMAL OPERATORS

• Main Author: REGINA POSTERNAK
• Other Authors: CARLOS KUBRUSLY
• Language: Portuguese
• Published: PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO DE JANEIRO 2002
• Online Access: http://www.maxwell.vrac.puc-rio.br/Busca_etds.php?strSecao=resultado&nrSeq=3338@1; http://www.maxwell.vrac.puc-rio.br/Busca_etds.php?strSecao=resultado&nrSeq=3338@2

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO DE JANEIRO === O problema do subespaço invariante consiste na seguinte pergunta: será que todo operador (i.e., transformação linear limitada) atuando em um espaço de Hilbert separável (complexo de dimensão infinita) tem subespaço invariante nãotrivial? Este é, possivelmente, o mais importante problema em aberto na teoria de operadores. Em particular, o problema do subespaço invariante permanece em aberto (pelo menos até a presente data) para operadores hiponormais, ou seja, ainda não se sabe se todo operador hiponormal (atuando em um espaço de Hilbert complexo separável) tem subespaço invariante não-trivial. O objetivo desta dissertação é apresentar, de maneira unificada, um levantamento sobre subespaços invariantes para operadores hiponormais. Inicialmente, o problema do subespaço invariante é abordado em sua forma geral (sem restrição a classes de operadores) onde diversos resultados clássicos são expostos. Em seguida, o problema específico de se encontrar subespaços invariantes para operadores hiponormais é apresentado de maneira sistemática. Em particular, investigamos propriedades do espectro de um operador hiponormal que não tenha subespaço invariante não trivial. === The invariant subspace problem is: does every operator acting on an infinite-dimensional complex separable Hilbert space have a nontrivial invariant subspace? This is, probably, the most important open question in the operator theory. In particular, the problem of the invariant subspace remains open (at least until now) for hyponormal operators, that is, it is still unknown whether every hyponormal operator (on a complex separable Hilbert space) has a nontrivial invariant subspace. The purpose of these dissertation is to present, in an unified way, a survey on invariant subspaces for hyponormal operators. At first, the invariant subspace problem is posed in a general form (without any restriction on the operator classes), where some of classical results are discussed. Secondly, the specific problem of finding invariant subspaces for hyponormal operators is presented in a systematic way and, in particular, we show some characteristics of the spectrum of a hyponormal operator with no nontrivial invariant subspace.