GENERIC PROPERTIES OF HOMOCLINIC CLASSES

• Main Author: CARLOS MARIA CARBALLO
• Other Authors: LORENZO JUSTINIANO D CASADO
• Language: Portuguese
• Published: PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO DE JANEIRO 2001
• Online Access: http://www.maxwell.vrac.puc-rio.br/Busca_etds.php?strSecao=resultado&nrSeq=2057@1; http://www.maxwell.vrac.puc-rio.br/Busca_etds.php?strSecao=resultado&nrSeq=2057@2; http://www.maxwell.vrac.puc-rio.br/Busca_etds.php?strSecao=resultado&nrSeq=2057@4

CONSELHO NACIONAL DE DESENVOLVIMENTO CIENTÍFICO E TECNOLÓGICO === Uma classe homoclínica de um campo vetorial é o fecho do conjunto de pontos homoclínicos transversais associados a uma órbita periódica hiperbólica. Provamos as propriedades seguintes. 1. As classes homoclínicas de campos vetoriais C¹ genéricos em variedades de dimensão n são conjuntos transitivos maximais, saturados, e isolados se e somente se omega-isolados. 2. Os campos vetorias C¹ genéricos não têm ciclos formados por classes homoclínicas. 3. As singularidades de codimensão 1, i.e., com um único autovalor positivo ou um único autovalor negativo, de campos vetoriais C¹ genéricos estão contidas em conjuntos transitivos maximais. 4. Os campos vetoriais C¹ genéricos com finitas classes homoclínicas têm finitos atratores cujas bacias formam um aberto denso da variedade. 5. Existem conjuntos localmente residuais de campos vetoriais C¹ em uma variedade de dimensão 5 exibindo finitos atratores e repulsores, porém infinitas classes homoclínicas. Conseguimos também uma condição suficiente para que um conjunto atrativo (at-tracting set) seja C 1 fracamente robusto. Observamos que esses resultados generalizam propriedades conhecidas dos campos vetoriais Axioma A. === A homoclinic class of a vector field is the closure of the set of transverse homoclinic points associated to a hyperbolic periodic orbit.We prove the following properties. 1.The homoclinic classes of generic C¹ vector fields on n-manifolds are maximal transitive sets, they are satured sets and isolated if and only if (omega)-isolated . 2. Generic C¹ vector fields do not exhibit cycles associated to homoclinic classes. 3.Codimension 1 singularities, i.e. with a unique positive or negative eigenvalue, of generic C¹ vector fields are contained in maximal transitive sets. 4.Generic C¹ vector fields with finitely many homoclinic classes have finitely many attractors the union of the basins of which form an open dense set of the manifold. 5. There are locally residual sets of C¹ vector fields on a 5-manifold exhibitinf finitely many attractors and repellers but infinitely many homoclinic classes. We also show a sufficient condition for an attracting set to be C¹ weakly robust. Let us observe that these results generalize well Known properties of Axiom a vector fields. === Una clase homoclínica de un campo vectorial es la clausura del conjunto de puntos homoclínicos transversales asociados a una órbita periódica hiperbólica. Fueron provadas las propriedades siguientes. 1. Las clases homoclínicas de campos vetoriales C¹ genéricos en variedades de dimensión n son conjuntos transitivos maximales, saturados, e aislados si y solo si son omega-aislados. 2. Los campos vetoriales C¹ genéricos no tienen ciclos formados por clases homoclínicas. 3. Las singularidades de codimensión 1, i.e., con un único valor propio positivo o un único valor propio negativo, de campos vectoriales C¹ genéricos están contenidas en conjuntos transitivos maximales. 4. Los campos vectoriales C¹ genéricos con finitas clases homoclínicas tienen finitos atractores cuyas bacias forman un abierto denso de la variedad. 5. Existen conjuntos localmente residuales de campos vetoriales C¹ en una variedad de dimensión 5 que exhiben finitos atratores y repulsores, no obstante infinitas clases homoclínicas. Conseguimos também una condición suficiente para que un conjunto atrativo (at-tracting set) sea C1 débilmente robusto. Observamos que esos resultados generalizan propriedades conocidas de los campos vetoriales Axioma A.