THE GENERALIZATION OF THE RICCATI EQUATION AND SINGULARITIES OF ITS POINCARÉ MAP

• Main Author: JOAO PAULO ROQUIM ROMANELLI
• Other Authors: NICOLAU CORCAO SALDANHA
• Language: Portuguese
• Published: PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO DE JANEIRO 2011
• Online Access: http://www.maxwell.vrac.puc-rio.br/Busca_etds.php?strSecao=resultado&nrSeq=17375@1; http://www.maxwell.vrac.puc-rio.br/Busca_etds.php?strSecao=resultado&nrSeq=17375@2

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO DE JANEIRO === A generalização da equação de Riccati estudada neste trabalho é z′(t) = z(t)(n) + an−1(t)z(t)(n−1) + . . . + a1(t)z(t) + a0(t). A Aplicação de Avanço leva za em zb se o problema de valor inicial, com z(a) = za, tem solução definida em [a,b] com z(b) = zb. Quando a = 0 e b = 1, a Aplicação de Avanço é conhecida como Aplicação de Poincaré. O conjunto singular é o subconjunto da esfera de Riemann contendo as singularidades da aplicação de avanço. No caso genérico, o conjunto singular é a união de curvas com um número finito de descontinuidades: correspondentes às soluções que alcançam o infinito pelo menos duas vezes. Como consequência será apresentado um método, baseado na configuração do conjunto singular, para determinar o número de soluções periódicas. Será exibida uma família de equações não autônomas cuja Aplicação de Poincaré é a Identidade num aberto do plano complexo. === The generalization of the Riccati equation studied in this work is z′(t) = z(t)n + an−1(t)z(t)n−1 + . . . + a1(t)z(t) + a0(t). The Advance Map takes za at zb if the initial value problem, with z(a) = za, has a solution defined on [a, b] with z(b) = zb. When a=0 and b=1 the Advance Map is known as Poincará Map. The singular set is the subset of the Riemann sphere containing the singularities of the advance map. In generic case, the singular set is the union of curves witha number finite discontinuities: corresponding solutions that reach infinity at least twice. As a consequence will be presented a method, based on configuration set singular, to determine the number of periodic solutions. A family of non-automous equations whose Poincaré Map is the Identity in a non-empty open subset of the complex plane will be presented.