THE ROLE OF DIAGRAMS IN EUCLIDEAN

• Main Author: BRUNO RAFAELO LOPES VAZ
• Other Authors: LUIZ CARLOS PINHEIRO DIAS PEREIRA
• Language: Portuguese
• Published: PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO DE JANEIRO 2010
• Online Access: http://www.maxwell.vrac.puc-rio.br/Busca_etds.php?strSecao=resultado&nrSeq=17190@1; http://www.maxwell.vrac.puc-rio.br/Busca_etds.php?strSecao=resultado&nrSeq=17190@2

CONSELHO NACIONAL DE DESENVOLVIMENTO CIENTÍFICO E TECNOLÓGICO === O objetivo deste trabalho é argumentar em favor de uma nova interpretação para o papel dos diagramas nas demonstrações da geometria euclideana. À luz de trabalhos recentes acerca do tema, pretende-se promover, em particular, uma nova avaliação daquele que é considerado o primeiro sistema dedutivo rigoroso na história da matemática: a geometria de Euclides, sistematizada nos seus Elementos. Com efeito, a utilização dos diagramas como partes essenciais das demonstrações neste sistema fez com que, na modernidade, tal sistema fosse considerado um exemplo de sistema informal, no qual as demonstrações são meros esboços do que seriam verdadeiras demonstrações. Estas, de acordo com a concepção de demonstração que se tornou comum na modernidade, devem ser compostas exclusivamente de fórmulas, as quais podem ser derivadas umas das outras apenas com base em regras lógicas ou princípios explícitos de antemão. Uma vez que tal concepção tornou-se dominante, por conta de diversos fatores nem sempre interligados, os diagramas que faziam parte das demonstrações euclideanas passaram a ser vistos como uma das principais causas de uma alegada falta de rigor por parte das mesmas. Para devolver às demonstrações matemáticas o rigor que lhes é necessário, autores como Hilbert e Pasch propuseram reconstruções formais da obra de Euclides, nas quais as demonstrações prescindem totalmente dos diagramas. No presente trabalho pretende-se reconstruir a seqüência de eventos que levou ao declínio das representações diagramáticas em geometria, bem como mostrar que é possível uma interpretação da obra de Euclides que leve em conta a participação dos diagramas nas demonstrações, sem que com isso as demonstrações sejam deficientes em termos de rigor. Serão rebatidas as críticas dos que defendem a concepção de demonstração acima mencionada, e, assim, será requerida uma revisão de tal postura - visando tanto a adoção de uma concepção mais abrangente de demonstração, quanto uma interpretação da geometria euclideana que faça mais justiça ao seu sucesso. === The main concern of this work is to argue for new interpretations regarding the role of the diagrams in Euclidean geometry. Taking into account recent works on the subject, the goal here is to present alternative ways to evaluate the system which is considered the first rigorous deductive system in the history of mathematics: Euclid`s Elements. In fact, the use of diagrams as parts of its demonstrations has been considered as a flaw of that formal system. According to the standard conception of demonstration in modern times, a demonstration must be a chain of formulae, each of them being either a principle (accepted without demonstration) or a formula that follows from some principle by logical inference. As this conception became influent, the diagrams in Euclidean geometry turned out to be seen as one of the main reasons for an alleged lack of rigor of its demonstrations. In face of this, authors like Pasch and Hilbert worked on a formalization of Euclidean geometry in modern fashion, i.e., suppressing the diagrams from its demonstrations. The present work aims at a reconstruction of the main events which led to the decline of diagrammatic representations in geometry. It will be shown that an alternative view is possible. This view takes into account the importance of diagrams for the demonstrations without denying their deductive rigor. It will be argued against the conception of demonstration mentioned above, and for a revision of such conception in order to achieve a broader and fairer conception of Euclidean geometry.