A STUDY ON CUTTING PLANE AND FIXING VARIABLE TECHNIQUES APPLIED TO THE RESOLUTION OF SET PARTITIONING PROBLEMS

• Main Author: MARCELO PRAIS
• Other Authors: CELSO DA CRUZ CARNEIRO RIBEIRO
• Language: Portuguese
• Published: PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO DE JANEIRO 1987
• Online Access: http://www.maxwell.vrac.puc-rio.br/Busca_etds.php?strSecao=resultado&nrSeq=10249@1; http://www.maxwell.vrac.puc-rio.br/Busca_etds.php?strSecao=resultado&nrSeq=10249@2

CONSELHO NACIONAL DE DESENVOLVIMENTO CIENTÍFICO E TECNOLÓGICO === Este trabalho consiste da aplicação de métodos de planos de corte (euclideano acelerado e cortes disjuntivos) na solução de problemas de programação inteira pura do tipo 0- 1 e suas especializações para o problemas de particionamento, quando combinados com técnicas de penalidades para fixação de variáveis. Desenvolve-se um estudo de técnicas de penalidades, que permitem fixar variáveis a valores inteiros a partir da solução ótima da relaxação linear do problema inteiro. As variáveis fixadas são eliminadas do problema e este é reescrito, tendo suas dimensões originais reduzidas. Sugerem-se melhorias no cálculo destas penalidades, levando-se em conta a estrutura particular do problema de particionamento. Finalmente, propõe-se um novo enfoque para a solução de problemas de particionamento: um algoritmo de planos de corte que utiliza técnicas de penalidades, com a finalidade de acelerar a convergência dos métodos puros de planos de corte e de reduzir os problemas por estes apresentados. Resultados computacionais são apresentados, comparando-se o desempenho (i) do algoritmo euclideano acelerado, (ii) do algoritmo de cortes disjuntivos e (iii) do algoritmo de cortes disjuntivos utilizando-se técnicas de penalidades. Para este último algoritmo, são comparados os resultados obtidos utilizando-se técnicas de penalidades genéricas para problemas inteiros do tipo 0-1 e as melhorias destas penalidades, especificas para problemas de particionamento. Considerando-se o problemas de particionamento e as melhorias propostas no cálculo de penalidades, mostra-se que é, freqüentemente, possível fixar um maior número de variáveis ou até mesmo resolver-se diretamente o problema 0-1 original. Em alguns casos, ao aplicar-se o algoritmo de planos de corte com técnicas de penalidades não só pode- se acelerar a convergência, como também superar os problemas de degenerescência dual e erros por arredondamento apresentados pelos algoritmos puros de plano de corte. === This work consists on the application of cutting plane techniques (accelerated euclidean algorithm and disjunctive cuts) for solving pure 0-1 integer problems and their specializations for the set partitioning problem, when combined to penalty techniques for fixing variables. A study on penalty techniques, which allows the fixation of variables to integer values, is also developed. These penalties are directly derived from the optimal tableau nof the linear relaxation of the integer problem. The variables fixed due to penalties are eliminated and the problem is reformulated, having its initial dimensions reduced. Some improvements on the evaluation of penalties are suggested, taking into account the special structure of the set partitioning problem. Finally, a new approach to the solution of set partitioning problems is proposed: a cutting plane algorithm which uses penalty techniques, in order to accelerate the convergence of pure cutting plane methods and overcome the problems arising from their use. Computational results are shown, allowing to compare the performance of (i) the accelerated euclidean algorithm, (ii) the disjunctive cut algorithm and (iii) the last one combined with penalty techniques. For the latter, the results obained by the use of generic penalties for 0-1 integer programs are compared with those obtained by the use of the improved penalties for ser partitioning problems. Taking into account set partitioninng problems and the improvements proposed for the evaluation of penalties, it is shown that very often it is possible to fix more variables to integer values and even to solve directly the original 0-1 problem. For some cases, by applying the cutting plane algorithm together with penalties, it is possible to accelerate the convergence and overcome dual degeneracy and round-off errors arising from the use of pure cutting plane algorithms.