Holomorphic Vector Bundles on Ruled Surfaces and Their Blowing Ups
Diese Arbeit ist motiviert durch das allgemeine Interesse an den Modulräumen von basierten SU(r)-Instantonen auf der vierdimensionalen Sphäre und auf der zusammenhängenden Summe von komplexen projektiven Ebenen, welche als Modulräume von gerahmten holomorphen Vektorbündeln auf Aufblasungen von Regel...
| Main Author: | |
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| Other Authors: | |
| Format: | Doctoral Thesis |
| Language: | English |
| Published: |
Humboldt-Universität zu Berlin, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II
1998
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| Subjects: | |
| Online Access: | http://edoc.hu-berlin.de/18452/15011 http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:11-1009032 http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:11-1009044 http://dx.doi.org/10.18452/14359 |
| Summary: | Diese Arbeit ist motiviert durch das allgemeine Interesse an den Modulräumen von basierten SU(r)-Instantonen auf der vierdimensionalen Sphäre und auf der zusammenhängenden Summe von komplexen projektiven Ebenen, welche als Modulräume von gerahmten holomorphen Vektorbündeln auf Aufblasungen von Regelflächen interpretiert werden können. Genauer gesagt, betrachten wir Modulräume von basierten SU(r)-Instantonen auf all denjenigen selbstdualen vierdimensionalen Mannigfaltigkeiten, welche eine Fläche vom Grad 1 enthalten, die selbst wiederum eine Twistorfaser enthält. Dies trifft zum Beispiel für die wohluntersuchte Klasse von LeBrun-Twistorräumen zu. Es erfolgt eine Darstellung des notwendigen Hintergrundes dieses Zusammenhanges. Inspiriert durch Hurtubise's Artikel "Instantons and Jumping Lines" untersuchen wir das lokale Sprungverhalten dieser gerahmten Vektorbündel und führen den Begriff des gerahmten exzeptionellen lokalen Sprunges ein. Wir beschreiben die gerahmten gewöhnlichen und exzeptionellen Sprünge durch Monaden und untersuchen die geometrischen Eigenschaften ihrer feinen Modulräume. Aufbauend auf dieser Untersuchung und den Resultaten von Boyer, Hurtubise, Mann, Milgram und Tian, worin die Atiyah-Jones-Vermutung für basierte SU(r)-Instantonen auf der vierdimensionalen Sphäre bewiesen wird, zeigen wir homologische und homotopische Charge-Stabilität für alle betrachteten Modulräume basierter SU(r)-Instantonen. Darüberhinaus stellen wir eine glatte Kompaktifizierung dieser Modulräume vor. === This work is motivated by the general interest in moduli spaces of based SU(r)-instantons on the four dimensional sphere and on the connected sum of complex projective planes, which can be interpreted as moduli spaces of framed holomorphic vector bundles on blown up ruled surfaces. To be precise, we consider moduli of based SU(r)-instantons over all self-dual four dimensional manifolds, where the twistor fibration contains a surface of degree 1 which itself contains a twistor fibre. This applies for instance to the well-examined class of LeBrun-twistor spaces. We display the necessary background of this relationship. Inspired by Hurtubise's paper "Instantons and Jumping Lines", we study the local jumping behaviour of such framed vector bundles and introduce the concept of framed exceptional local jumps. We describe framed ordinary and exceptional jumps by monads and examine the geometric properties of their fine moduli spaces. Based on this examination and on the results of Boyer, Hurtubise, Mann, Milgram and Tian, where the Atiyah-Jones conjecture for based SU(r)-instantons on the four dimensional sphere is proved, we show homological and homotopical charge stability for all considered moduli of based SU(r)-instantons. Moreover, we present a smooth compactification of these moduli spaces. |
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