Best constants in Markov-type inequalities with mixed weights

• Main Author: Langenau, Holger
• Other Authors: TU Chemnitz, Fakultät für Mathematik
• Format: Doctoral Thesis
• Language: English
• Published: Universitätsbibliothek Chemnitz 2016
• Subjects: Markovungleichung; Laguerregewicht; Gegenbauergewicht; Hermitegewicht; Toeplitzmatrix; Volterraoperator; Schattennorm; Markov inequality; Laguerre weight; Gegenbauer weight; Hermite weight; Toeplitz matrix; Volterra operator; integral operators; Schatten norm; orthogonal polynomials; approximation theory; ddc:510; Integraloperator; orthogonale Polynome; Approximationstheorie
• Online Access: http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:bsz:ch1-qucosa-200815; http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:bsz:ch1-qucosa-200815; http://www.qucosa.de/fileadmin/data/qucosa/documents/20081/Dissertation_Langenau_Holger.pdf; http://www.qucosa.de/fileadmin/data/qucosa/documents/20081/signatur.txt.asc

Markov-type inequalities provide upper bounds on the norm of the (higher order) derivative of an algebraic polynomial in terms of the norm of the polynomial itself. The present thesis considers the cases in which the norms are of the Laguerre, Gegenbauer, or Hermite type, with respective weights chosen differently on both sides of the inequality. An answer is given to the question on the best constant so that such an inequality is valid for every polynomial of degree at most n. The demanded best constant turns out to be the operator norm of the differential operator. The latter conicides with the tractable spectral norm of its matrix representation in an appropriate set of orthonormal bases. The methods to determine these norms vary tremendously, depending on the difference of the parameters accompanying the weights. Up to a very small gap in the parameter range, asymptotics for the best constant in each of the aforementioned cases are given. === Markovungleichungen liefern obere Schranken an die Norm einer (höheren) Ableitung eines algebraischen Polynoms in Bezug auf die Norm des Polynoms selbst. Diese vorliegende Arbeit betrachtet den Fall, dass die Normen vom Laguerre-, Gegenbauer- oder Hermitetyp sind, wobei die entsprechenden Gewichte auf beiden Seiten unterschiedlich gewählt werden. Es wird die kleinste Konstante bestimmt, sodass diese Ungleichung für jedes Polynom vom Grad höchstens n erfüllt ist. Die gesuchte kleinste Konstante kann als die Operatornorm des Differentialoperators dargestellt werden. Diese fällt aber mit der Spektralnorm der Matrixdarstellung in einem Paar geeignet gewählter Orthonormalbasen zusammen und kann daher gut behandelt werden. Zur Abschätzung dieser Normen kommen verschiedene Methoden zum Einsatz, die durch die Differenz der in den Gewichten auftretenden Parameter bestimmt werden. Bis auch eine kleine Lücke im Parameterbereich wird das asymptotische Verhalten der kleinsten Konstanten in jedem der betrachteten Fälle ermittelt.