積分微分方程的數值解

• Main Authors: 吳舜堂, WU, SHUN-TANG
• Language: 中文
• Published: 國立政治大學
• Subjects: 積分微分方程; 數值解; 有限元素法; 同倫法; 變分法; LAGRANGE多項式; HOMOTOPY-METHOD; VARIATIONAL-METHOD; LERAY-SCHAUDER-DEGREE
• Online Access: http://thesis.lib.nccu.edu.tw/cgi-bin/cdrfb3/gsweb.cgi?o=dstdcdr&i=sid=%22B2002005822%22.

本論文是以探討積分微分方程數值解的問題為主。此文中吾人皆先對問題本身做分析 ，討論其存在解，然後再用有限元素法，對連續性的問題做分解，使其變為一非線性 的方程組。而後藉由同倫（HOMOTOPY）法來解此非線性方程組。最後吾人可得到當區 間分割得愈小，真實解與數值解的誤差會愈小。也就是吾人所用之方法，為一個收斂 的方法。 本文共分兩部分，第一部分中，吾人討論一維的微分積分方程在有限區間的問題。於 此部分中，我們分了６個章節。第一節中，給了關於此問題的簡單介紹，並給序一些 必需的假設。第二節中，吾人可得到在第一節的假設下，假如原問題有真實解的話， 那麼此真實解絕對值的極大值（SUPREMUM）必不大於某個大於零的常數。第三節中， 吾人討論原方程的存在解，而證此存在解是經由LERAY-SCHAUDER DEGREE 定理得來的 。且在更強的條件下，會有存在唯一解。更而證明假如原來問題中函數不滿足所給予 的假設，那麼可經由修正（MODIFIED）原來的問題，也可得到原問題存在有解。第四 節中，對原來的方程，經由變分法（VARIATIONAL ）的方法，把它變成一非線性的方 程組，而在某些條件下，吾人亦可得到此方程組有解。第五節中，吾人討論此非線性 方程組的數值解。並可得知，當區間分割的愈小，此數值解會更趨近實實的解。第六 節中，吾人給予平滑的多項式子空間來逼近真實解，結果可得到假如每個區間以（ｋ ＋１）個點的LAGRANGE多項式來做內插（INTERPOLATION ），可知其收斂速度為O(Hk (big O),h 是分割區間的最大距離。 第二部分中，吾人所討論的是二維以上的積分微分方程在有界區域的問題，於此部分 中討論的與第一部分中類似，探討其存在，數值解等等問題。 最後吾人並給予一些例子，來加以印證我們所得到的結果。