Résolution de systèmes bivariés et topologie de courbes planes
Un problème fondamental en géométrie algorithmique est celui du calcul de la topologie d'une courbe plane donnée par son équation implicite. Ce problème peut être vu comme celui du calcul d'un graphe qui approche la courbe et qui possède la même topologie que cette dernière. Une étape impo...
| Main Author: | |
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| Language: | English |
| Published: |
Université de Lorraine
2014
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| Subjects: | |
| Online Access: | http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00979707 http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/97/97/07/PDF/Thesis.pdf |
| Summary: | Un problème fondamental en géométrie algorithmique est celui du calcul de la topologie d'une courbe plane donnée par son équation implicite. Ce problème peut être vu comme celui du calcul d'un graphe qui approche la courbe et qui possède la même topologie que cette dernière. Une étape importante dans les algorithmes calculant la topologie d'une courbe plane concerne le calcul des points singuliers et points extrêmes (en x) de celle-ci. Ce problème se ramène naturellement à celui de la résolution de systèmes bivariés définis par la courbe et ses dérivées par rapport aux variables qui la définissent. Cette thèse porte sur l'étude, l'élaboration et l'implantation d'algorithmes robustes et efficaces pour la résolution de systèmes définis par des polynômes en deux variables à coefficients entiers. Plus précisément, nous nous somme intéressé au calcul d'une Représentation Univariée Rationnelle des solutions. Une telle représentation est constitué d'un polynôme univarié et de deux fonctions rationnelles qui envois les racines du polynôme univarié sur les coordonnées des points solutions du système. Nous présentons dans un premier temps un algorithme théorique pour calculer la RUR d'un système bivarié qui améliore la meilleure borne de complexité connue d'un facteur d^2, ou d désigne le degré des polynômes de départ, et qui permet d'obtenir une nouvelle borne sur la taille des polynômes de cette RUR. Dans un second temps, nous présentons un algorithme de calcul de RUR efficace en pratique. Cet algorithme, basé sur des choix aléatoires et sur l'utilisation du calcul multi-modulaire est probabiliste. Nous en présentons une première version Monte-Carlo, puis nous montrons comment tester la correction du résultat ce qui fourni un algorithme Las-Vegas. Cet algorithme est efficace à la fois en théorie et en pratique à en juger par l'analyse de complexité en moyenne et les nombreux testes effectués. |
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