Statistique des zéros non-triviaux de fonctions L de formes modulaires

• Main Author: Bernard, Damien
• Language: fra
• Published: Université Blaise Pascal - Clermont-Ferrand II 2013
• Subjects: [MATH:MATH_NT] Mathematics/Number Theory; [MATH:MATH_NT] Mathématiques/Théorie des nombres; Fonction L; Forme modulaire; Zéros non-triviaux; Proportion; Levinson; Problème de convolution; Décalage additif; Moments intégraux; Second moment ramolli; Théorème de densité; Plus petit zéro; Équation différentielle avec retards
• Online Access: http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00922713; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/95/81/80/PDF/BERNARD_2013CLF22408.pdf

Cette thèse se propose d'obtenir des résultats statistiques sur les zéros non-triviaux de fonctions L. Dans le cas des fonctions L de formes modulaires, on prouve qu'une proportion positive explicite de zéros non-triviaux se situe sur la droite critique. Afin d'arriver à ce résultat, il nous faut préalablement étendre un théorème sur les problèmes de convolution avec décalage additif en moyenne de manière à déterminer le comportement asymptotique du second moment intégral ramolli d'une fonction L de forme modulaire au voisinage de la droite critique. Une autre partie de cette thèse, indépendante de la précédente, est consacrée à l'étude du plus petit zéro non-trivial d'une famille de fonctions L. Ces résultats sont en particulier appliqués aux fonctions L de puissance symétrique.