Modèles attractifs en astrophysique et biologie : points critiques et comportement en temps grand des solutions

• Main Author: Campos Serrano, Juan
• Language: FRE
• Published: Université Paris Dauphine - Paris IX 2012
• Subjects: [MATH:MATH_GM] Mathematics/General Mathematics; Tour de bulles; Réduction de Lyapunov-Schmidt; Exposant critique; Modèle de Keller-Segel; Chemotactisme; Asymptotiques en temps grand; Masse critique; Solutions auto-similaires; Entropie relative; Énergie libre; Fonctionnelle de Lyapunov; Trou spectral; Inégalité logarithmique de Hardy-Littlewood-Sobolev; Équilibre relatif; Équation de Vlasov-Poisson; Problème à N-corps; Développement asymptotique
• Online Access: http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00861568; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/86/15/68/PDF/Campos.pdf

Dans cette thèse, nous étudions l'ensemble des solutions d'équations aux dérivées partielles résultant de modèles d'astrophysique et de biologie. Nous répondons aux questions de l'existence, mais aussi nous essayons de décrire le comportement de certaines familles de solutions lorsque les paramètres varient. Tout d'abord, nous étudions deux problèmes issus de l'astrophysique, pour lesquels nous montrons l'existence d'ensembles particuliers de solutions dépendant d'un paramètre à l'aide de la méthode de réduction de Lyapunov-Schmidt. Ensuite un argument de perturbation et le théorème du Point xe de Banach réduisent le problème original à un problème de dimension finie, et qui peut être résolu, habituellement, par des techniques variationnelles. Le reste de la thèse est consacré à l'étude du modèle Keller-Segel, qui décrit le mouvement d'amibes unicellulaires. Dans sa version plus simple, le modèle de Keller-Segel est un système parabolique-elliptique qui partage avec certains modèles gravitationnels la propriété que l'interaction est calculée au moyen d'une équation de Poisson / Newton attractive. Une différence majeure réside dans le fait que le modèle est défini dans un espace bidimensionnel, qui est expérimentalement consistant, tandis que les modèles de gravitationnels sont ordinairement posés en trois dimensions. Pour ce problème, les questions de l'existence sont bien connues, mais le comportement des solutions au cours de l'évolution dans le temps est encore un domaine actif de recherche. Ici nous étendre les propriétés déjà connues dans des régimes particuliers à un intervalle plus large du paramètre de masse, et nous donnons une estimation précise de la vitesse de convergence de la solution vers un profil donné quand le temps tend vers l'infini. Ce résultat est obtenu à l'aide de divers outils tels que des techniques de symétrisation et des inégalités fonctionnelles optimales. Les derniers chapitres traitent de résultats numériques et de calculs formels liés au modèle Keller-Segel