Autour les relations entre SLE, CLE, champ libre Gaussien, et les conséquences

• Main Author: Wu, Hao
• Language: English
• Published: Université Paris Sud - Paris XI 2013
• Subjects: [MATH:MATH_GM] Mathematics/General Mathematics; [MATH:MATH_GM] Mathématiques/Mathématiques générales; SLE (Schramm Loewner Evolution); CLE (Conformal Loop Ensemble); Champ libre Gaussien; Invariance conforme; Propriété de Markov
• Online Access: http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00856599; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/85/65/99/PDF/VD2_WU_HAO_26062013.pdf; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/85/65/99/ANNEX/VD2_WU_HAO_26062013_SYNTHESE_ANNEXE.pdf

Cette thèse porte sur les relations entre les processus SLE, les ensembles CLE et le champ libre Gaussien. Dans le chapitre 2, nous donnons une construction des processus SLE(k,r) à partir des boucles des CLE(k) et d'échantillons de restriction chordale. Sheffield et Werner ont prouvé que les CLE(k) peuvent être construits à partir des processus d'exploration symétriques des SLE(k,r).Nous montrons dans le chapitre 3 que la configuration des boucles construites à partir du processus d'exploration asymétrique des SLE(k,k-6) donne la même loi CLE(k). Le processus SLE(4) peut être considéré comme les lignes de niveau du champ libre Gaussien et l'ensemble CLE(4) correspond à la collection des lignes de niveau de ce champ libre Gaussien. Dans la deuxième partie du chapitre 3, nous définissons un paramètre de temps invariant conforme pour chaque boucle appartenant à CLE(4) et nous donnons ensuite dans le chapitre 4 un couplage entre le champ libre Gaussien et l'ensemble CLE(4) à l'aide du paramètre de temps. Les processus SLE(k) peuvent être considérés comme les lignes de flot du champ libre Gaussien. Nous explicitons la dimension de Hausdorff de l'intersection de deux lignes de flot du champ libre Gaussien. Cela nous permet d'obtenir la dimension de l'ensemble des points de coupure et des points doubles de la courbe SLE, voir le chapitre 5. Dans le chapitre 6, nous définissons la mesure de restriction radiale, prouvons la caractérisation de ces mesures, et montrons la condition nécessaire et suffisante de l'existence des mesures de restriction radiale.