Quelques contributions à l'étude des séries formelles à coefficients dans un corps fini

• Main Author: Firicel, Alina
• Language: FRE
• Published: Université Claude Bernard - Lyon I 2010
• Subjects: [MATH:MATH_GM] Mathematics/General Mathematics; Séries de Laurent; Corps finis; Suites automatiques; Morphismes de monoïdes libres; Complexité de facteurs; Approximation diophantienne; Transcendance
• Online Access: http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00825191; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/82/51/91/PDF/TH2010_Firicel_Alina.pdf

Cette thèse se situe à l'interface de trois grands domaines : la combinatoire des mots, la théorie des automates et la théorie des nombres. Plus précisément, nous montrons comment des outils provenant de la combinatoire des mots et de la théorie des automates interviennent dans l'étude de problèmes arithmétiques concernant les séries formelles à coefficients dans un corps fini.Le point de départ de cette thèse est un célèbre théorème de Christol qui caractérise les séries de Laurent algébriques sur le corps F_q(T), l'entier q désignant une puissance d'un nombre premier p, en termes d'automates finis et dont l'énoncé est : " Une série de Laurent à coefficients dans le corps fini F_q est algébrique si et seulement si la suite de ses coefficients est engendrée par un p-automate fini ". Ce résultat, qui révèle dans un certain sens la simplicité de ces séries de Laurent, a donné naissance à des travaux importants parmi lesquels de nombreuses applications et généralisations.L'objet principal de cette thèse est, dans un premier temps, d'exploiter la simplicité de séries de Laurent algébriques à coefficients dans un corps fini afin d'obtenir des résultats diophantiens, puis d'essayer d'étendre cette étude à des fonctions transcendantes arithmétiquement intéressantes. Nous nous concentrons tout d'abord sur une classe de séries de Laurent algébriques particulières qui généralisent la fameuse cubique de Baum et Sweet. Le résultat principal obtenu pour ces dernières est une description explicite de leur développement en fraction continue, généralisant ainsi certains travaux de Mills et Robbins. Rappelons que le développement en fraction continue permet généralement d'obtenir des informations très précises sur l'approximation rationnelle ; les meilleures approximations étant obtenues directement à partir de la suite des quotients partiels. Malheureusement, il est souvent très difficile d'obtenir le développement en fraction continue d'une série de Laurent algébrique, que celle-ci soit donné par une équation algébrique ou par son développement en série de Laurent. La deuxième étude que nous présentons dans cette thèse fournit une information diophantienne à priori moins précise que la description du développement en fraction continue, mais qui a le mérite de concerner toutes les séries de Laurent algébriques (à coefficients dans un corps fini). L'idée principale est d'utiliser l'automaticité de la suite des coefficients de ces séries de Laurent afin d'obtenir une borne générale pour leur exposant d'irrationalité. Malgré la généralité de ce résultat, la borne obtenue n'est pas toujours satisfaisante. Dans certains cas, elle peut s'avérer plus mauvaise que celle provenant de l'inégalité de Mahler. Cependant, dans de nombreuses situations, il est possible d'utiliser notre approche pour fournir, au mieux, la valeur exacte de l'exposant d'irrationalité, sinon des encadrements très précis de ce dernier.Dans un dernier travail nous nous plaçons dans un cadre plus général que celui des séries de Laurent algébriques, à savoir celui des séries de Laurent dont la suite des coefficients a une " basse complexité ". Nous montrons que cet ensemble englobe quelques fonctions remarquables, comme les séries algébriques et l'inverse de l'analogue du nombre \pi dans le module de Carlitz. Il possède, par ailleurs, des propriétés de stabilité intéressantes : entre autres, il s'agit d'un espace vectoriel sur le corps des fractions rationnelles à coefficients dans un corps fini (ce qui, d'un point de vue arithmétique, fournit un critère d'indépendance linéaire), il est de plus laissé invariant par diverses opérations classiques comme le produit de Hadamard