Contribution à la théorie des entiers friables

• Main Author: Martin, Bruno
• Language: FRE
• Published: Université de Lorraine 2005
• Subjects: [MATH:MATH_NT] Mathematics/Number Theory; entiers friables; P-sommation; identités de Davenport; première fonction de Bernoulli; fonctions de Piltz; approximation diophantienne; fonction de Dickman; fonctions additives; inégalité de Turan-Kubilius; opérateur intégral; méthode de Galerkin
• Online Access: http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00795666; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/79/56/66/PDF/these_bmartin.pdf

Un entier naturel est dit $y$-friable lorsque son plus grand facteur premier n'excède pas $y$. Ce travail est consacré à l'étude des entiers friables dans le cadre de la théorie analytique et probabiliste des nombres. La première partie est dévolue à un problème posé par Davenport en 1937, qui consiste à déterminer les conditions de validité de diverses généralisations de son développement de la fonction sinus en série de parties fractionnaires. Ces généralisations peuvent être décrites par un couple de fonctions arithmétiques, liées par la relation de convolution $f=g*\1$. Nous traitons le cas où $g$ est la fonction de Piltz d'ordre $z\in\CC$. La deuxième partie est consacrée à l'étude du comportement asymptotique de la constante optimale dans une version friable de l'inégalité de Turán-Kubilius. Précisant des résultats récents de La Bretèche et Tenenbaum, nous généralisons au cas friable une formule asymptotique de la variance d'une fonction arithmétique additive, établie par Hildebrand en 1983.